miércoles, 17 de noviembre de 2010

Las verdades matemáticas, ¿se inventan o se descubren?


Antes de entrar en materia un pequeño test. Reflexiona y responde sinceramente a cada pregunta.

  1. ¿Crees que los objetos matemáticos existen?

  2. ¿Crees que los objetos matemáticos son abstractos?

  3. ¿Crees que los objetos matemáticos son independientes de tu actividad racional?

  4. ¿Las verdades matemáticas se descubren o se inventan?


Si has respondido sí a las tres primeras preguntas eres un platónico matemático y lo mismo no lo sabías. Respecto a la cuarta pregunta, sigue leyendo.

El platonismo matemático es la posición de aquellos que mantienen que los objetos matemáticos existen, que son abstractos y que son independientes de nuestras actividades racionales. Por ejemplo, un platónico podría afirmar que el número pi existe fuera del espacio y el tiempo y que tiene las características que tiene independientemente de cualquier actividad, física o mental, de los seres humanos. Así, de la misma forma que los electrones y los planetas existen independientemente de nosotros, existirían los números y los conjuntos. Y, al igual que las afirmaciones acerca de los electrones y los planetas se hacen verdaderas o falsas al confrontarlas con los objetos a los que hacen referencia y sus características perfectamente objetivas, las afirmaciones acerca de los números y los conjuntos serán verdaderas o falsas por el mismo procedimiento. Consecuentemente, para el platónico las verdades matemáticas se descubren, no se inventan.

Paradójicamente a los platónicos matemáticos se les llama “realistas” aunque, estrictamente hablando, haya realistas que no son platónicos porque no aceptan el requisito platónico de que los objetos matemáticos tengan que ser abstractos.

El platonismo matemático disfruta de amplia aceptación y frecuentemente es la posición metafísica por defecto con respecto a las matemáticas. Mucha gente que ha estudiado matemáticas, pero que no ha reflexionado sobre la cuestión, es platónica sin saberlo, aunque en otros ámbitos sus posiciones filosóficas disten mucho del platonismo. Este hecho no es sorprendente dado lo natural que resulta su uso en el día a día. En concreto, el platonismo matemático acepta sin problemas verdades como que “existe” un número infinito de números primos y aporta explicaciones sencillas de la objetividad matemática y de las diferencias entre los objetos del espaciotempo y los matemáticos.

Los argumentos a favor del platonismo matemático son, en muchos casos, variaciones del argumento de Frege, y suelen incluir afirmaciones como que si las teorías matemáticas son ciertas entonces su estructura lógica debe referirse a objetos matemáticos, que muchas teorías matemáticas son objetivamente verdaderas y que los objetos matemáticos no son parte de la realidad espaciotemporal.

Los filósofos han desarrollado todo un abanico de objeciones al platonismo matemático. Entre ellas la más ampliamente citada por su robustez considera que los objetos matemáticos abstractos son algo epistemológicamente inaccesible y metafísicamente problemático. En otras palabras, por una parte el platonismo matemático requeriría una separación metafísica impenetrable entre los objetos matemáticos y los seres humanos. Pero, por otra, una separación metafísica impenetrable haría de nuestra capacidad para “referirnos a/tener conocimiento de/tener creencias justificadas sobre” los objetos matemáticos algo completamente misterioso. Sospechosamente parecido a la capacidad que, según la astrología, tienen algunos planetas y satélites de influir sobre la vida y destino de los humanos.

Responde de nuevo: ¿las matemáticas se inventan o se descubren? Puedes justificar tu respuesta en los comentarios.


Esta entrada es la contribución de Experientia docet al VIII Carnaval de Matemáticas, que este mes alberga Los matemáticos no son gente seria.




15 comentarios:

Anónimo dijo...

Muy interesante el post, y viendo el blog en general muy ameno también. Agregado a marcadores, algo que nunca suelo hacer con un blog que aparece en Menéame.

Juan Martínez-Tébar Giménez dijo...

Yo soy platónico y siempre he creído que se descubren.
Interesantísima entrada.
Gracias por participar en el carnaval

Toro Sentado dijo...

Yo elijo ser platónico y que las matemáticas se descubren.
Por cierto recuerdo algún encarnizado debate en otros blogs sobre este tema. Los no platónicos se ponían como fieras, aunque dudo que pueda demostrarse una postura u otra de ninguna forma.
Felicidades por el post que aclara bien los conceptos.

Alberto de Francisco dijo...

La matemática es más real que una piedra porque es la urdimbre de lo que llamamos real. Si la realidad es energia-materia e información, la matemática explica no sólo sus relaciones, sino todas sus hipotéticas relaciones.

Paiku dijo...

Yo creo que las matemáticas se inventan, porque son un metalenguaje. Las matemáticas son para mí una serie de patrones que el ser humano ve en la naturaleza y que explica por su propio lenguaje, y el lenguaje claro está, depende del cerebro humano y de la cultura.

AOM dijo...

Me he hecho la pregunta en alguna ocasión. Si algo me gusta en el post es saberme que mi falta de respuesta convincente no es única.

Los objetos matemáticos (ej: los números) no existen en la realidad espaciotemporal.
Las relaciones matemáticas existen y se descubren.
¿Es contradictorio?

Daniel Marín dijo...

Yo creo que se inventan, lo cual me alegra porque nunca me han gustado las cavernas de los platónicos. Dicho esto, ¿hará ruido el número pi al caer en un bosque solitario?

Dave dijo...

Yo por una parte creo que se inventan, por las mismas razones que apunta Paiku. Una raza alienígena con una percepción distinta de la nuestra tendrá unas matemáticas diferentes.
Pero sus naves espaciales describirán trayectorias cónicas igual que las nuestras, luego sus matemáticas y las nuestras deben ser equivalentes de alguna manera, así que cabe pensar que existe una realidad subyacente.

En el fondo es un gran misterio.

AOM dijo...

Tengo que seguir distinguiendo entre objetos y reglas.
Los objetos matemáticos son conceptos abstractos creados (inventados) por los hombres. Igual que las palabras. Los números naturales o el número 2 no existen fuera de nuestra mente (o cultura) tal como no existe el concepto abstracto vaca.
Las verdades matemáticas (reglas) como las leyes físicas existen y las descubrimos. La relación matemática entre masa, energía y velocidad de la luz no ha sido creada por el hombre sino descubierta por él.

raztez dijo...

los dioses se inventan o se descubren???
Santa Claus fue inventado o descubierto???
Cada tanto me pasa que cosas que me parecían terriblemente evidentes no lo resultan tanto para el resto.
Pero creo que le podemos dar una vuelta de tuerca, las matemáticas fueron inventadas no descubiertas, paso de discutir con alguien que opine lo contrario, pero una vez inventadas se van descubriendo aspectos vinculados a su funcionamiento. Pasa que el invento contenía/ contiene información que nos es desconocida.

biotecol dijo...

Ahora si quede loco creo que las matematicas descriptivas es una interpretación y lo convertimos en lenguaje pero y el ábaco, los numeros romanos y ahora los que usamos en el fondo describen lo mismo por eso creo que las matematicas las descubrimos y la forma de transmitirlas y plasmarlas la inventamos.
Muy buena entrada y muy buenos comentarios

Rafalillo dijo...

Qué preguntas tan difíciles!!!

Yo soy de la opinión de que las verdades matemáticas se descubren, puesto que siempre han existido. La palabra 'invención', a mi entender, se usa mal muchas veces. Por ejemplo, se dice que los hombres prehistóricos inventaron el fuego. ¡No! El fuego ya estaba ahí antes; lo que habría que decir es que inventaron cómo crear fuego, o algo así.

Con respecto a los objetos matemáticos, creo que existen, pero que no los podemos construir; yo esto lo 'traduzco' como que son abstractos, es decir, los podemos imaginar en nuestra mente, pero no hacerlos realidad. Pero cuando pienso en objetos matemáticos, pienso en esferas, cubos, triángulos, rectas, funciones, etc., cosas que se pueden modelar en 2 o 3 dimensiones, cosas que podríamos tocar, pero no considero objetos matemáticos cosas como los números, las ecuaciones y demás. Estos últimos objetos son para mí únicamente símbolos que usamos para poder entender y modelar la realidad.

Y sí, los objetos matemáticos creo que son independientes de mi actividad racional. Cada uno imaginará estos objetos a su manera, pero realmente pensamos en el mismo objeto, que existe sin necesidad de que nosotros existamos.

Buff, qué filosófico me he puesto :P

Un saludo de un amigo carnavalero ;)

Anónimo dijo...

Hola. Yo doy respuesta afirmativa a las cuestiones. Ahora bien, que las verdades matemáticas existan independiéntemente de nuestra actividad cerebral, no significa que su génesis no sea humana. Es decir, más que decir que se inventan o se descubren yo diría que se construyen a partir de unas normas previas. Pero una vez que están construidas se vuelven universales e independientes. No se si me explico. No preexisten, pero una vez que son construidas tienen las características que se suelen identificar con el platonismo. Muy interesante tu blog. Un saludo.

José Luis Ferreira dijo...

Llego tarde a esta discusión, pero es que acabo de descubrir el blog y estoy curioseando por las distintas entradas. Estupendas todas, enhorabuena.

En cuanto a la discusión, yo escribí esto hace unos meses (perdona el tocho):

Muchos matemáticos opinan que las matemáticas se descubren y no se inventan. Una razón poderosa para sostener esto es que los teoremas matemáticos, efectivamente, se descubren. Nadie puede invetar un teorema. Se puede inventar una definición o una operación, pero, una vez hecho esto, los resultados que se siguen no son objeto de invención. La cuestión, por tanto, es si los axiomas de las matemáticas (los que definen los números o los conjuntos, por ejemplo), y las operaciones que definimos (la suma de dos números, la intersección de dos conjuntos) son inventadas o descubiertas.

No sé muy bien qué decir sobre esta cuestión que sea consistente con las definiciones de ambos términos. Creo que no son demasiado relevantes para la cuestión que creo interesa, a saber, si las matemáticas que construimos con ellas son las que crearía cualquier civilización inteligente. Si la respuesta es positiva querría decir que estamos haciendo las matemáticas “naturales”, por así decirlo. Si es negativa, en cambio, estaríamos, por una parte, tal vez perdiendo el tiempo en ejercicios intrascendentes y, por otra, tal vez “descubriendo” cosas únicas e interesantes que intercambiar con otras civilizaciones.

Las matemáticas son un sistema formal. El ajedrez, también. Cabe poca duda en pensar que otras civilizaciones habrán inventado otros juegos, pero no el ajedrez. Poca duda también en decir que, dados los axiomas y las reglas del ajedrez (descripción de la posición inicial de las piezas y de cómo pueden mover), también los extraterrestres inteligentes podrán saber si Rey y Torre pueden dar mate a un Rey solo.

En matemáticas tenemos confianza en que otras matemáticas hayan definido los números y las operaciones básicas, menos en que hayan definido conjuntos y funciones como nosotros, aunque mucha, otra vez, de que hablen de las relaciones trigonométricas y exponenciales, por ejemplo. El interés que puedan tener sobre la hipótesis de Riemann es un misterio.

Como hay quienes opinan que muchos de los conceptos matemáticos se descubren en el sentido de decir que son definiciones “naturales”, hay quien dice que los matemáticos, o muchos de ellos, son platónicos (con algún neo por delante, para más modernidad).

Decir que si podemos inventar el ajedrez es porque ya había antes una idea de “ajedrez” es algo que podemos hacer, pero no sé de qué sirve decir eso. No, desde luego para mostrar la existencia de algo trascendente a la naturaleza. Lo único que dice es que antes de pensar nada sobre el Universo hace falta un Universo sobre el que pensar.

No veo que la situación con las ideas que nos son más intuitivas y naturales sea muy distinta. Tenemos una idea bastante precisa sobre algunas cosas cercanas. Reconocemos los caballos y eso nos hace pensar en una idea de caballo que nuestra mente descubre. Pero no somos tan precisos como parece. Fácilmente uno se confunde y engloba a los mulos o a las cebras con los caballos, o deja de lado a los ponies. Cuando hablamos de cosas menos familiares (no veo que nuestra mente tenga una idea clara de lo que es material, espacio o tiempo, a pesar de que así nos lo parezca) es difícil pensar en ideas que descubrimos y es más fácil hablar de definiciones que nos van siendo útiles a medida que seguimos avanzando en la aventura del saber.

Lo mismo nos pasa con esa ciencia tan apriorística como es las matemáticas. Si la inventamos o la descubrimos es una cuestión de interés, pero en su nivel, en el de la naturalidad de sus definiciones, no en el de mostrar esencias o trascendencias en el Universo, cosas que no se sabe muy bien lo que son (por decirlo suave), que nadie ha encontrado y cuya aceptación, por otra parte, ningún conocimiento aportan.


Read more: http://todoloqueseaverdad.blogspot.com/2010/07/inventar-o-descubrir.html#ixzz16EESiTIr

Imanpas dijo...

Los objetos matemáticos existen.

Una raza alienígena que estudiara el mismo Universo encontraría que, en cualquier circunferencia, la razón entre su longitud y su diámetro se mantiene constante. Dotarían a esa relación de un nombre y, en su sistema numérico equivaldría a una serie de símbolos. Pero seguiría siendo pi.

Nadie se ha "inventado" que esa relación sea constante. Se descubrió.

El número 2 existe: es nuestra forma de designar que hay una cosa y otra que es distinguible de la primera. Nadie se ha inventado la dualidad: se observa.