La estructura algebraica del universo.

Para el profano toda la matemática es lo mismo y, sin embargo, no todas las matemáticas son creadas iguales. Existe una rama de ellas que es tremendamente abstracta, tanto que sólo los matemáticos especializados en ella le encuentran algún sentido: el álgebra abstracta. Paradójicamente el universo parece recogerse en ella.

El álgebra como abstracción comenzó su camino a finales del siglo XVIII y floreció en el XIX. Sin embargo, cada uno de sus pasos se encontró con la incomprensión de la mayoría de los matemáticos con mentalidades más clásicas (enfocadas a la geometría) o más modernas (fascinadas por el análisis y sus aplicaciones en física e ingeniería). Este fue el caso de Abel, Ruffini, Galois o Grassmann. El caso de este último es muy ilustrativo: hoy día cualquier estudiante universitario que haya tenido un curso de matemáticas ha estudiado a Grassmann sin saberlo, es lo que llamamos álgebra lineal. Grassmann en su día tuvo que abandonar las matemáticas por la incomprensión de un Cauchy, un Möbius o un Hamilton y dedicarse a su otra pasión, el sánscrito, lo que, esta vez sí, le granjeó un doctorado honorífico por la Universidad de Tubinga. Y es que esas abstracciones suyas de vectores y espacios vectoriales no tenían utilidad alguna, no digamos ya grupos, anillos o cuerpos.

En 1960 Eugene Wigner escribió un ensayo titulado “La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales” en el que se maravillaba de que estos productos de la pura abstracción humana, estos grupos y matrices, estos espacios y variedades, terminasen siendo imágenes de cosas reales o procesos reales en el mundo real. Y es que la revolución de la física de la primera mitad del siglo XX encontró apoyo en las ideas más abstractas del siglo XIX para la descripción tanto del universo a gran escala como del interior del átomo. De hecho, las física más especulativa del siglo XXI también se apoya en los aspectos más abstractos del álgebra del siglo XX. Veamos, a título de ilustración y sin ánimo de ser exhaustivos, algunos ejemplos.

Teoría especial de la relatividad (1905)

Las mediciones del espacio y el tiempo realizadas en un marco de referencia pueden ser “traducidas” a mediciones hechas en otro (que se mueve, por supuesto, a una velocidad constante con respecto al primero) mediante la transformación de Lorentz. Estas transformaciones pueden incluirse en un modelo como rotaciones de un sistema de coordenadas en un cierto espacio de cuatro dimensiones. En otras palabras, un grupo deLie (1870).

Teoría general de la relatividad (1916)

El espacioteimpo de cuatro dimensiones se curva (distorsiona) por la presencia de materia y energía. Para describir este fenómeno adecuadamente hemos de recurrir al cálculotensorial, iniciado por Hamilton (1846), desarrollado por Ricci-Curbastro (1890) basándose en Riemann y Grassmann, y popularizado por Levi-Civita (1900).

Mecánica cuántica matricial (1925)

Cuando el joven Werner Heisenberg estaba trabajando con las frecuencias de las radiaciones emitidas por un átomo que “salta” de un estado cuántico a otro, se encontró mirando varios cuadros de datos que tenían como característica que el número de la columna n-ava de la fila m-ava representaba la probabilidad de que un átomo “saltase” del estado m al estado n. La lógica de la situación le indicaba que tenía que multiplicar estos cuadros entre sí y sugirió la única técnica adecuada para hacerlo. Pero, cuando intentó llevar a cabo la multiplicación efectiva, se encontró con la sorpresa de que no era conmutativa. Multiplicar el cuadro A por el cuadro B no era lo mismo que multiplicar el cuadro B por el cuadro A. ¿Qué estaba pasando? Su suerte fue que investigaba en la Universidad de Gotinga y Emmy Noether y David Hilbert le explicaron muy amablemente la teoría de matrices que Cayley ya recogía en un libro de texto (1858), y las contribuciones posteriores de Hamilton, Frobenius y Cauchy, entre otros.

Hadrones y quarks (1964)

Para comienzo de los años 60 del siglo XX los físicos habían descubierto todo un mundo de partículas subatómicas llamadas hadrones. Murray Gell-Mann, a la sazón un joven investigador en el Instituto de Tecnología de California, se dio cuenta de que las propiedades de los hadrones, si bien no seguían un patrón lineal evidente, adquirían sentido como parte de un grupo de Lie, uno que aparece cuando estudiamos las rotaciones en un espacio bidimensional cuyas coordenadas sean números complejos. Trabajando con esta idea y los datos, Gell-Mann se dio cuenta de que su primera impresión era superficial. El grupo equivalente de 3 dimensiones complejas explicaba muchas más cosas pero requería de la existencia de partículas que aún no se habían observado. Gell-Mann se fió de su intuición, sus datos y las matemáticas y publicó lo que había encontrado. Las partículas que había predicho Gell-Mann dieron en llamarse quarks.

Teoría de cuerdas (1985)

Trabajando con algunas ideas de Riemann, Erich Kähler propuso en los años 30 del siglo XX una familia de variedades que tienen una propiedades generales muy interesantes. Cada superficie de Riemann, por ejemplo, es una variedad de Kähler. Entre 1954 y 1957 Eugenio Calabi identificó una subclase de variedades de Kähler y conjeturó que su curvatura debía tener un tipo de simplicidad muy interesante. Esta conjetura de Calabi fue demostrada por Shing-tung Yau en 1977.

En 1985 el grupo de investigación de Edward Witten se refirió a esta subclase de variedad como Calabi-Yau en un trabajo en el que identificaban su lisura (suavidad, ausencia de irregularidades), la simplicidad de su curvatura, como el trasfondo ideal en el que ubicar los movimientos de las cuerdas que, según la teoría, nuestros instrumentos interpretan como toda la variedad de partículas subatómicas y fuerzas, incluida la gravedad. El hecho de que la variedad de Calabi-Yau tenga 6 dimensiones parece muy raro, pero resulta que 3 de ellas están “plegadas” desde nuestra perspectiva macroscópica, de la misma forma que una maroma de barco manifiestamente tridimensional parece unidimensional a una distancia suficiente.

Una vez dije en una conferencia que la física del futuro, la descripción del universo que compartirán nuestros nietos, existe ya en la facultad de matemáticas. Eso sí, puede que la distribución no sea isótropa, y haya algo más concentración en los departamentos de álgebra.

Esta entrada es una participación de Experientia docet en la Edición 2.X del Carnaval deMatemáticas que organiza Resistencia Numantina.  

Los aminoácidos como catalizadores para la formación de azúcares en la Tierra primitiva.

Uno de los grandes misterios del origen de la vida, y un tema recurrente en Experientia docet, es la homoquiralidad en aminoácidos y azúcares, es decir, por qué existiendo en la naturaleza aminoácidos y azúcares que son idénticos químicamente pero que sólo se diferencian como lo hace la mano derecha de la izquierda, en los seres vivos sólo hay aminoácidos de una clase y azúcares de la otra, en concreto, aminoácidos L y azúcares D. Pues bien, una nueva investigación no nos da la respuesta al problema, pero puede que lo reduzca.

Un grupo de investigadores encabezado por Laurence Borroughs, de la Universidad de York (Reino Unido), ha recreado en el laboratorio un proceso que podría haber tenido lugar en la Tierra prebiótica y que habría dado lugar a los azúcares más sencillos. En este proceso los aminoácidos actúan como catalizadores. Los resultados aparecen publicados en Organic & Biomolecular Chemistry.

El equipo encontró que usando L-aminoácidos sencillos para catalizar la formación de azúcares se obtenían predominantemente D-azúcares. A esto nos referíamos más arriba cuando decíamos que este resultado podía reducir el problema: la existencia previa de L-aminoácidos ya preconfiguraría la existencia de D-azúcares, sólo quedaría por explicar los primeros y sobre ello hay teorías interesantes (véase, por ejemplo, aquí y aquí).

En concreto, mientras que los ésteres de L-prolina producían L-tetrosas, los ésteres de L-leucina, L-alanina y L-valina generaban D-tetrosas. Los rendimientos de estas reacciones son los que justificarían la conexión entre los L-aminoácidos naturales y los D-azúcares. Curiosamente esos rendimientos son muy sensibles al pH y son enantioselectivamente óptimos, es decir, producen el máximo de moléculas de una quiralidad (L,D) dada, a pH neutro.

Esta entrada ha sido editada para corregir y homogeneizar la nomenclatura tras una amable indicación de @carlosxabier 

Esta entrada es una participación de Experientia docet en la IX Edición del Carnaval de Biología que organiza Laciencia de la vida y en la XI Edición del Carnaval de Química que acoge La aventura de la ciencia  

Referencia:

Burroughs, L., Clarke, P., Forintos, H., Gilks, J., Hayes, C., Vale, M., Wade, W., & Zbytniewski, M. (2012). Asymmetric organocatalytic formation of protected and unprotected tetroses under potentially prebiotic conditions Organic & Biomolecular Chemistry DOI: 10.1039/C1OB06798B

Programación genética, próximamente en tu supermercado.

Yogur de “frutas del bosque”, refresco de “naranja”, champú de “limón”, limpiador de “pino”, hidratante de “aguacate”. El diseño de aromas, los sabores de la comida y la bebida envasada y los olores de los productos de limpieza, cosmética y demás, es un negocio multimillonario. Las grandes compañías internacionales de aromas invierten millones de euros todos los años en investigación y desarrollo, incluyendo una gran cantidad de ensayos con paneles de consumidores.

Pero sacar algo en claro de los resultados de los paneles es muy difícil. Las preferencias de los sujetos pueden variar tanto que no aparece ningún patrón evidente. La salida obvia a esta dificultad sería recoger suficientes datos acerca de cada sujeto como para poder filtrar después las inconsistencias. El problema está precisamente en recoger esos datos de forma fiable. Después de oler 40 muestras ni tú sabes qué te gusta o te deja de gustar. Así, los ejecutivos de las empresas se ven tomando decisiones en base a un conjunto de datos pequeño y poco fiable.

Una solución a este problema es usar las matemáticas, en concreto modelos matemáticos que compiten entre sí para ajustarse a los datos disponibles y que después pueden combinarse para producir modelos aún más precisos. Puede que te suene al funcionamiento de la evolución de los seres vivos y es que hablamos de programación genética.

Un equipo de investigadores encabezado por Kalyan Veeramachaneni, del MIT (EE.UU.), ha abordado el reto de analizar los resultados de un panel de la empresa suiza Givaudan. Los 69 sujetos evaluaron 36 combinaciones diferentes de 7 sabores básicos a los que asignaban una puntuación en función de su atractivo olfativo. Los resultados aparecen publicados en Genetic Programming and Evolvable Machines.

Los investigadores generaron al azar para cada sujeto un conjunto de ecuaciones matemáticas que predecía las puntuaciones en función de 7 variables, los sabores. Cada conjunto se evaluó en función de 2 criterios: precisión y simplicidad. Un conjunto que, por ejemplo, predice las preferencias de un sujeto con bastante precisión usando una sola variable (la concentración de mantequilla, por caso) sería mucho más útil que otro que fuese ligeramente más preciso pero que requiriese una manipulación matemática compleja por incluir las 7 variables.

El proceso es iterativo: una vez que todos los conjuntos de ecuaciones han sido evaluados, los peores son eliminados; y a los supervivientes se les combina al azar para crear una nueva generación de ecuaciones, que vuelve a ser evaluada. Todo el proceso se repite unas 30 veces, hasta que converge en un conjunto de ecuaciones que se ajustan bien a las preferencias de un solo sujeto.

Una vez que las preferencias de cada persona tienen una expresión matemática fiable, es sencillo encontrar pautas. De esta manera los sujetos pueden clasificarse en grupos en función de gustos que tienen una expresión en lógica matemática pero que son difícilmente detectables de otra manera dentro del enjambre de datos. Por ejemplo, hay un grupo de sujetos que muestran una gran predilección por la canela o la nuez moscada, pero no por ambos sabores combinados. Tendría sentido, pues, que la empresa pusiese en el mercado dos productos, uno para los amantes de la canela y otro para los de la nuez moscada, pero cometería un grave error si comercializase uno sabor a canela con toques de nuez moscada como sugeriría un análisis tradicional. Este resultado puede parecer pobre, pero si tenemos en cuenta que para cada una de las 36 combinaciones alguien le dio la nota máxima y otro la mínima, el resultado es espectacular.

Como los investigadores no tenían la posibilidad de comprobar con los miembros del panel la validez de sus modelos en nuevos sabores, tuvieron que idear una forma de hacerlo. Con lo que habían aprendido diseñaron un conjunto de ecuaciones que representaba el conjunto de preferencias “reales” de varios sujetos ficticios. Introduciendo entonces las condiciones de contorno que implican los diseños de las pruebas de los paneles de consumidores, demostraron que sus algoritmos podían predecir los resultados.

Paradójicamente, lo más interesante para las empresas puede que sea el método de validación de los resultados más que los propios algoritmos: los diseños de las pruebas serían manifiestamente mejorables, por una parte y, por otra, una vez “modelado” un sujeto lo puedes incorporar a una base de datos que, debidamente mantenida y actualizada, te permitiría extrapolar resultados con mucha mayor fiabilidad.

Esta entrada es una participación de Experientia docet en la VI Edición del Carnaval de la Tecnología que acoge Scientia y en la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas que organiza Resistencia Numantina.

Referencia:

Veeramachaneni, K., Vladislavleva, E., & O’Reilly, U. (2012). Knowledge mining sensory evaluation data: genetic programming, statistical techniques, and swarm optimization Genetic Programming and Evolvable Machines DOI: 10.1007/s10710-011-9153-2

Una vida intelectualmente activa y Alzheimer

Un equipo de investigadores encabezado por Susan Landau, de la Universidad de California en Berkeley (EE.UU.), ha encontrado que personas sin síntomas de la enfermedad de Alzheimer y que a lo largo de su vida han realizado habitualmente actividades estimulantes desde el punto de vista cognitivo tienen menos depósitos de beta amiloide, el signo patológico de la enfermedad. Los resultados se publican en Archives of Neurology.

Antes de entrar en detalle, me permito sugerir al lector interesado esta introducción al estado de la cuestión para poder poner en contexto lo que sigue: La incomoda verdad sobre la enfermedad de Alzheimer.

Las placas de beta amiloide son el signo distintivo de la enfermedad de Alzheimer. Ello no significa que sean la causa, pero sea cual sea ésta, existe una correlación bien establecida entre la presencia de placas de de beta amiloide y Alzheimer. La aparición de estas placas puede estar influenciada también por los genes y el simple envejecimiento; démonos cuenta de que un tercio de las personas de más de 60 años tienen depósitos de amiloide en sus encéfalos. En cualquier caso, parece razonable suponer que cualquier cosa que retrase la aparición de las placas (no que las destruya a posteriori, véase la introducción) también podría retrasar la aparición del Alzheimer.

Investigaciones anteriores han venido sugiriendo que dedicarse a actividades estimulantes mentalmente como leer, escribir, los juegos de tablero o el baile de salón, podrían ser beneficiosas a la hora de retrasar o, incluso, prevenir, la aparición del Alzheimer. Sin embargo, la beta amiloide comienza a acumularse muchos años antes de la aparición de los síntomas. Por ello, a día de hoy, cuando empiezan a aparecer síntomas es poco lo que se pueda hacer para parar la progresión de la enfermedad (véase la introducción). Así pues, la prevención debe hacerse mucho antes y con esta idea en mente es con la que Landau et al. han diseñado su experimento.

Los investigadores pidieron a 65 adultos cognitivamente sanos de más de 60 años (edad media 76,1) que evaluasen la frecuencia con la que habían participado en actividades estimulantes mentalmente como ir a la biblioteca, leer libros o periódicos, escribir cartas o correos electrónicos. Las preguntas se centraban en varios aspectos de sus vidas desde los 6 años en adelante.

Estos voluntarios participaron durante más de 5 años en evaluaciones neuropsicológicas para comprobar la memoria y otras funciones cognitivas, siendo sometidos a escáneres PET (tomografía por emisión de positrones, por sus siglas en inglés) regularmente, usando como marcador el Compuesto B de Pittsburgh (con carbono-11 radiactivo), un análogo fluorescente de la tioflavina T que permite visualizar la presencia de beta amiloide. Como controles se usaron los resultados obtenidos con 10 pacientes diagnosticados con enfermedad de Alzheimer y 11 veinteañeros sanos.

Los investigadores encontraron una correlación estadísticamente significativa entre niveles mayores de actividad cognitiva a lo largo de toda la vida y menores niveles de beta amiloide, tal y como se presenta en los escáneres (este es un matiz no menor). Cuando analizaron el impacto de otros factores tales como el estado de la memoria, la actividad física, la capacidad nemotécnica autoevaluada, el nivel de educación y el sexo, encontraron que la correlación entre una vida cognitivamente activa y las placas de beta amiloide era independiente de todo lo anterior.

Es muy llamativo que no se encontrase una correlación fuerte entre la cantidad de placas de beta amiloide y la actividad cognitiva en ese momento. Esto es, parece que tiene mucho más efecto haber sido cognitivamente activo durante toda una vida que empezar a serlo en la vejez. Esto no implica que se nieguen los posibles efectos beneficiosos de ser cognitivamente activo en la vejez.

Este descubrimiento hace que se mire de distinta forma a lo que significa una vida cognitivamente activa para el cerebro. Más que simplemente aportar una resistencia frente al Alzheimer, las actividades que estimulan el cerebro podrían estar afectando a un proceso patológico primario de la enfermedad. Lo que sugiere que las terapias cognitivas deberían aplicarse mucho antes de que los síntomas aparezcan.

Si llegados a este punto al lector le queda la sensación de que andamos a ciegas con el Alzheimer, no se preocupe, es la sensación correcta.

Referencia:

Landau, S., Marks, S., Mormino, E., Rabinovici, G., Oh, H., O'Neil, J., Wilson, R., & Jagust, W. (2012). Association of Lifetime Cognitive Engagement and Low  -Amyloid Deposition Archives of Neurology DOI: 10.1001/archneurol.2011.2748

Química orgánica ultrafría en el medio interestelar.

NASA/JPL-Caltech/T. Pyle (SSC)

Un equipo de investigadores encabezado por Dorian Parker, de la Universidad de Hawái (EE.UU.), ha descubierto una nueva ruta química a muy baja temperatura para la síntesis de naftaleno. Estos resultados podrían explicar la formación de hidrocarburos aromáticos policíclicos (HAP) en las regiones ultrafrías del espacio interestelar. El descubrimiento también puede ayudar a reducir la emisión de HAP tóxicos en los motores de combustión interna. El estudio se publica en los Proceedings of the National Academy of Sciences.

Cuando en la Tierra se habla de HAP suele ser para referirse a los procesos de combustión incompleta y a cómo se forman rápidamente a temperaturas elevadas en los motores de combustión interna o en el humo del tabaco. Una vez liberados en el aire los HAP pueden llegar a los pulmones donde su potencial carcinogénico los convierten en un riesgo mayor para la salud. Si llegan al agua la contaminan seriamente, bioacumulándose en el tejido graso de los seres vivos (algunos de los cuales nos comemos después). Los HAP están relacionados pues con la contaminación del suelo, los envenenamientos alimentarios, las lesiones en el hígado y el crecimiento de tumores.

Paradójicamente lo que en la Tierra puede clasificarse como altamente tóxico, en astrobiología se considera uno de los principales participantes en la evolución química en el medio interestelar. Así, por ejemplo, se encontraron HAP que portaban grupos funcionales carboxilo e hidroxilo en los extractos orgánicos del meteorito Murchison que formaban estructuras limitativas parecidas a membranas: los primeros indicios de una estructura protocelular, un requisito para el origen de la vida.

Naftaleno

Existe, además, otra paradoja: si en la Tierra los HAP se forman a muy alta temperatura, ¿cómo pueden existir en las cantidades en las que lo hacen en el medio interestelar con temperaturas sólo unos grados por encima del cero absoluto? El hecho cierto es que el proceso de formación de los HAP no se conoce suficientemente bien, ni siquiera el de su componente más sencillo, el naftaleno (C₁₀H₈).

Cuando se habla de la formación los mecanismos de reacción que se suelen mencionar implican secuencias aHaA, es decir, reacciones de abstracción (eliminación bimolecular) de hidrógeno combinadas con adición de acetileno. Una análisis termodinámico elemental muestra que las secuencias aHaA tienen una energía de activación muy altas, es decir, para que se inicien son necesarias temperaturas de varios miles de grados, como las que se encuentran en los procesos de combustión o en los flujos de las estrellas ricas de carbono y en las nebulosas planetarias.

Sin embargo, este proceso de formación de HAP no explica la presencia de HAP medida en el medio interestelar. En éste los HAP son destruidos rápidamente por fotolisis y por los rayos cósmicos. Las tasas de destrucción son mucho más altas que las de inyección de nuevo producto en el medio interestelar por las estrellas de la Rama Asintótica Gigante (RAG) y las nebulosas planetarias ricas en carbono descendientes de estrellas RAG. Por tanto debe existir un proceso de formación de HAP desconocido que explique la rápida y ubicua proliferación de HAP en el medio interestelar a temperaturas de 10K, temperaturas a las que las secuencias aHaA no pueden iniciarse.

Parker et al. demuestran que es posible la formación de naftaleno como consecuencia de una simple colisión entre un radical fenilo y vinilacetileno en fase gaseosa y la formación de un complejo intermedio por fuerzas de van der Waals, sin necesidad de una energía de activación. Los datos experimentales fueron corroborados por un análisis teórico de la reacción y simulaciones por ordenador. Este mecanismo podría explicar, pues, la formación de naftaleno a 10K

Si bien en el futuro habrá que encontrar mecanismos para la formación de HAP más complejos, como el fenantreno y el antraceno, o que contengan nitrógeno, como el indol o la quinolina, este trabajo demuestra por primera vez que la química a muy baja temperatura juega un papel crítico en la formación de compuestos orgánicos complejos en el medio interestelar.

Esta entrada es una participación de Experientia docet en la XI edición del Carnaval de Química que organiza La aventura de la ciencia. 

Referencia:

Parker, D., Zhang, F., Kim, Y., Kaiser, R., Landera, A., Kislov, V., Mebel, A., & Tielens, A. (2011). Low temperature formation of naphthalene and its role in the synthesis of PAHs (Polycyclic Aromatic Hydrocarbons) in the interstellar medium Proceedings of the National Academy of Sciences, 109 (1), 53-58 DOI: 10.1073/pnas.1113827108