domingo, 8 de junio de 2008

La irracional eficacia de las matemáticas: las lentes gravitacionales y el Teorema Fundamental del Álgebra


Los matemáticos estaban intentando extender un ilustre resultado en su campo, el Teorema Fundamental del Álgebra. Los astrofísicos estaban trabajando en un problema fundamental en su campo, el problema de las lentes gravitacionales. El que ambos grupos estuviesen trabajando de hecho en el mismo problema es algo que cabía y que no cabía esperar: la “irracional eficacia de las matemáticas” es bien conocida en las ciencias, pero cada nuevo caso produce nuevas ideas y puro deleite.


En su artículo “From the Fundamental Theorem of Algebra to Astrophysics: A `Harmonious' Path" (“Del Teorema Fundamental del Álgebra a la astrofísica: un camino ‘armonioso’ ), que apareció el 5 de junio en las “Notices” de la American Mathematical Society [enlace abajo], los matemáticos Dmitry Khavinson (Universidad del Sur de Florida) y Genevra Neumann (Universidad del Norte de Iowa) describen el trabajo matemático que sorprendentemente les llevó a problemas en astrofísica.


El Teorema Fundamental del Álgebra (TFA), cuya demostración data del siglo XVIII, es una verdad matemática fundamental, elegante en su simplicidad. Cada polinomio complejo de grado n tiene n raíces en los números complejos. En los años 90 del pasado siglo, Terry Sheil-Small y Alan Wilmshurst exploraron la posibilidad de extender el TFA a los polinomios armónicos. En un giro inesperado en 2001, Khavinson, junto a G. Swiatek, aplicaron métodos de dinámica compleja para resolver unos de los casos de la conjetura de Wilmshurst, mostrando que para una cierta clase de polinomios armónicos, el número de ceros es como mucho 3n-2, donde n es el grado del polinomio.


Cuando era investigadora postdoctoral en la Universidad del Estado de Kansas, Neumann mencionó el resultado 3n-2 en una charla, y Pietro Poggi-Corradini se preguntó si la aproximación de dinámica compleja de Khavinson y Swiatek podría extenderse para contar los ceros de funciones armónicas racionales. (Una función racional es un cociente de polinomios, y una función armónica racional es la suma de una función racional y el conjugado complejo de una función racional). Neumann le preguntó después a Khavinson acerca de esta posibilidad. No tenían ni idea sobre cual podría ser la respuesta y, por supuesto, no tenían ni la más remota sospecha que un astrofísico ya había conjeturado la solución.


Khavinson y Neumann sorprendentemente obtuvieron 5n-5 en vez de 3n-2. Se preguntaron si 5n-5 era preciso y si no podría rebajarse algo más. Después de comprobarlo y recomprobarlo, publicaron su resultado en arXiv y volvieron a sus asuntos respectivos. Justo una semana después recibieron un correo electrónico de Jeffrey Rabin de la Universidad de California en San Diego felicitándoles ya que su teorema resolvía la conjetura de Sun Hong Rhie en astrofísica. Khavinson y Neumann no tenían ni la más ligera sospecha de que alguien fuera de las matemáticas estuviese interesado en este resultado.


Rhie había estado estudiando el problema de las lentes gravitacionales, un fenómeno en el cual la luz procedente de una fuente celeste, una estrella o una galaxia, es desviada por un (o unos) objetos(s) masivos que se encuentra entre la fuente de luz y el observador (ver imagen). Debido a la desviación, el observador ve múltiples imágenes de la misma fuente de luz. El fenómeno se predijo por primera vez a comienzos del siglo XIX, usando la mecánica newtoniana. Una predicción más precisa la realizó Einstein en 1915 usando su teoría de la relatividad general, predicción que fue confirmada por la observación en 1919 durante un eclipse solar. El primer sistema de lentes gravitacionales fue descubierto en 1979.


Ocurre que al menos en algunas situaciones ideales se puede contar el número de imágenes de la fuente de luz en un sistema de lentes gravitacionales contando el número de ceros de una función armónica racional; exactamente el tipo de función que Khavinson y Neumann habían estado estudiando. Mientras investigaba el número posible de imágenes producidas por un sistema de lentes gravitacional con n puntos másicos desviando la luz, Rhie había conjeturado el resultado de 5n-5 que tanto había sorprendido a Khavinson y Neumann. Rhie también había aportado una forma ingeniosa de construir un ejemplo de función armónica racional con exactamente 5n-5 ceros. Junto con el resultado de Khavinson y Neumann, este ejemplo establece que 5n-5 es exacto.


Después de conocer el trabajo de Rhie, Khavinson y Neumann contactaron con otros matemáticos y astrofísicos que trabajan en problemas similares y recibieron información que usaron para revisar su artículo (que ha aparecido publicado en los “Proceedings” de la American Mathematical Society). Estas colaboraciones han significado nuevos resultados que irán publicándose.



Original: "From the Fundamental Theorem of Algebra to Astrophysics: A `Harmonious' Path" http://www.ams.org/notices/200806/tx080600666p.pdf