Pensando la química matemáticamente

El conocimiento químico viene de antiguo. Hasta hace poco más de un siglo era un conocimiento puramente fenomenológico obtenido en la mayoría de los casos por ensayo y error. Démonos cuenta que la cuantificación en la química empieza a finales del siglo XVIII, con Lavoisier y el uso de la balanza, por lo que no cabría esperar la existencia ni de teoría química propiamente dicha, ni mucho menos, de una teoría de estructura matemática antes de esa fecha. Sin embargo, si nos paramos a definir qué es pensar matemáticamente, podemos encontrar ilustraciones de pensamiento matemático aplicado a la química desde la antigüedad. Y es que para pensar matemáticamente no hacen falta números. Veamos un ejemplo.

La tabla de afinidades de Geoffroy

Siguiendo la filosofía cartesiana del XVII, varios filósofos naturales y matemáticos franceses desarrollaron la idea de un conocimiento químico racional y matematizado. Así, Bernard le Bovier de Fontenelle, el secretario a la sazón de la Académie des Sciences desde 1697, afirmaba en su introducción a la Histoire de l'Académie royale des sciences (1702) que:

“las matemáticas no sólo han producido una infinitud de sus propias verdades, sino que también han producido en las mentes con bastante generalidad un hábito de exactitud y precisión incluso más precioso que todas estas verdades”.

En ese mismo texto de Fontenelle sugería la idea de matematizar la química como se había hecho con la geometría (se refiere a la geometría analítica cartesiana), con objeto de poder hacer predicciones. El programa subyacente era legitimar la química como la parte teórica de la “vulgar farmacia” y como compañera respetable de los médicos y su arte.

Un miembro de este grupo de filósofos naturales fue Etienne-François Geoffroy, el mismo médico, farmacéutico y químico. Geoffroy es conocido hoy día por la introducción en 1718 de la Table des differents rapports observés entre differentes substances (Tabla de las diferentes relaciones observadas entre diferentes sustancias). Geoffroy quería una tabla en la que uno pudiese ver “de un vistazo” las diferentes relaciones de las “principales materias con las que uno acostumbra a trabajar en química”. La tabla pronto se convirtió no sólo en una colección de información sino también en una herramienta para predecir sales y sus reacciones químicas.

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La paradoja del caballero hospitalario

De Monfort iba a añadir algo más pero se contuvo a tiempo. La cara del duque de la Baja Lorena no invitaba precisamente a desobedecerle. Tras los años de viaje y luchas para recuperar los Santos Lugares los habitantes de Jerusalén, cristianos o no, reconocían a distancia la cara de mal humor del Defensor del Santo Sepulcro, encarnación misma de la ira del Altísimo y, como tal, temida.

Godefroy de Bouillon paseaba arriba y abajo la estancia ante la atenta mirada de reojo de de Monfort. Finalmente, en un suspiro apenas audible, musitó:

- Dios sabe que no vivimos con lujos precisamente, pero hágase Su voluntad que Él proveerá. ¿Qué propones, Hughes?

De Monfort esperaba esa pregunta y tenía preparada su respuesta:

- Monseñor, las pagas de los caballeros pueden ser partidas, de tal manera que cobren sólo una décima parte aquí y las otras nueve sean pagables de vuelta a casa. Vuestras propiedades ya están hipotecadas con mercaderes judíos de Luxemburgo y Flandes y los judíos locales actúan de corresponsales de ellos. Os cobrarían un interés, pero calculo que os permitirían refinanciar esta partida un año más.
- ¡Realmente los caminos del Señor son inescrutables!¡Que los que hicieron que lo crucificaran paguen ahora por su traición!
- Realmente pagáis vos, monseñor...

De Bouillon estaba tan ocupado respirando con alivio que no oyó, o no quiso oír, a su consejero. Hughes de Monfort, prosiguió con voz algo más audible.

- Después está el asunto de los gastos corrientes...
- ¿Por qué te paras? ¡Continúa!

De Monfort tragaba saliva. Llegaba al punto más sensible para de Bouillon, a su orgullo, a lo que él llamaba la “misericordia del Señor retornada”.

De Bouillon había mandado construir el hospital de San Pedro a las afueras de Jerusalén, al otro lado del Cedrón, en el mismo lugar donde se había atendido a los heridos durante el asedio de la ciudad. Después había tomado a su cargo el hospital de peregrinos de San Juan cerca de la vía Dolorosa, con la idea de atender a los habitantes de la ciudad. Quería simbolizar con estas acciones la misericordia universal del Señor, que había mandado tratar a cristianos y no cristianos por igual, y empleaba para ello a todos los médicos disponibles, incluyendo tanto judíos como musulmanes, bajo la dirección de los Caballeros Hospitalarios, una autoproclamada Orden de San Juan de Jerusalén que mandaba Gérard de Martigues.

De Bouillon, que había torturado a de Martigues tras la caída de la ciudad por sospechar que colaboraba con el enemigo, ahora le profesaba si no afecto, si un gran respeto por su piedad, su capacidad organizativa y su inteligencia. Por eso mismo, de Monfort encontraba la situación especialmente espinosa. Cualquier propuesta que hiciese que pudiese afectar a los Caballeros de San Juan, Gérard de Martigues podía ingeniárselas para volverla en su contra. Por ello había preparado concienzudamente sus argumentos.

- Monseñor, Dios sabe que no podemos vivir más austeramente de lo que ya lo hacemos. Por ello sólo nos queda cerrar uno de los hospitales que monseñor tan generosamente sostiene...

La mirada de Godefroy de Bouillon habría petrificado a otro que no hubiera sido Hughes de Monfort, que prosiguió con los ojos clavados en el suelo.

- He mirado los números. El Hospital de San Juan ha atendido a 2100 personas en el último año, de las que han muerto 630, 30 de cada 100. El de San Pedro a 800, de las que 160 han partido de este mundo, 20 de cada 100. Hemos de cerrar San Juan y centrar nuestros escasos recursos en San Pedro. Es una pura cuestión de eficacia.

El Defensor del Santo Sepulcro se quedó mirando de hito en hito a de Monfort, en silencio. Tras un tiempo que pareció eterno, habló:

- Haré venir a de Martigues y se lo cuentas a él.

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Los triángulos de luz y el sintético a priori

Sabemos por las notas y la correspondencia, publicadas póstumamente, de Carl Friedrich Gauss que éste precedió a János Bolyai y a Nikolái Ivánovich Lobachevsky en el desarrollo de la geometría hiperbólica allá por la década de los veinte del siglo XIX y que llegó al convencimiento de que era lógicamente factible que el propio espacio físico fuese hiperbólico, o no euclídeo.

El descubrimiento de las geometrías no euclidianas, parafraseando a Hilary Putnam, es el descubrimiento más importante en la historia de la ciencia para alguien interesado en el estudio de nuestra capacidad de conocer el universo. Efectivamente, privó a los racionalistas de la existencia del conocimiento sintético a priori y dio a los empiricistas una estupenda pista de cómo el conocimiento matemático podría encontrar acomodo en el empiricismo. Veámoslo someramente.

A principios del siglo XIX todo el mundo daba por sentado que la geometría (euclídea) era un conocimiento a priori y una descripción verdadera de la estructura del espacio. Curiosamente quien más heterodoxo se había mostrado con esta idea, aunque en su tiempo no se expresase de esa manera, fue Leibniz, habitualmente etiquetado como racionalista, que, a diferencia de Newton, no consideraba el espacio como un absoluto dado, sino como las relaciones entre los objetos. A diferencia de las verdades a posteriori, las verdades de la geometría euclidiana parecían prácticamente irrefutables, lo que ponía la posición de los empiricistas en serias dificultades.

De igual forma que hizo falta un Einstein para encontrar una forma de comprobar experimentalmente la existencia de los átomos más allá de toda duda razonable en la forma de sus ecuaciones para el movimiento browniano, fue necesario un Gauss para encontrar que si se combinaban las afirmaciones de Euclides con los conocimientos de óptica, se obtenía una conclusión comprobable experimentalmente sobre la geometría del espacio real. Algo así:

Euclides: Los ángulos de cualquier triángulo suman 180º
Óptica geométrica: La luz viaja en líneas rectas
Conclusión: Los ángulos de cualquier “triángulo de luz” (un triángulo cuyos lados sean rayos de luz) suman 180º

Hasta Gauss (o, para el público en general, hasta Bolyai y Lobachevsky) si las mediciones de un triángulo de luz hubiesen contradicho esta conclusión, automáticamente se hubiese achacado a un defecto en la medida, por mucha precisión que ésta pudiese haber tenido, ya que lo contrario nos habría dejado sin una geometría alternativa. La invención [no descubrimiento, que eso es de platónicos] de las geometrías no euclídeas cambió esta situación.

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Matemáticas y mundo físico (y III): los pensamientos de dios

En las dos entregas anteriores de esta serie (I, II) hemos visto dos respuestas que representan los extremos de una misma cuestión que está en el centro mismo de la metamatemática: su apriorismo. Pero la gran incógnita, el gran misterio subyacente que estos planteamientos abordan sólo tangencialmente es por qué las matemáticas son útiles para representar lo que ocurre en el mundo físico; en otras palabras: ¿es el universo inherentemente matemático o son las matemáticas una construcción de la mente humana?

Fijémonos que responder a esta pregunta suponer sacar a las matemáticas de sí mismas. Me explico. Suponiendo que aplicamos una lógica adecuada y partiendo de algunos axiomas asimismo adecuados podemos construir toda una serie de enunciados lógicamente consistentes que formen un sistema que si bien puede no ser completo (Gödel), se puede afirmar de él que sus enunciados son verdaderos en cierto sentido. El valor de verdad de cualquier enunciado matemático dependerá de sus consistencia con el resto de enunciados ya probados, y mostrar esta consistencia es lo que se llama prueba matemática. En este contexto un enunciado matemático está “dentro de las matemáticas”.

Sin embargo usar una técnica matemática, esto es, un subconjunto determinado de enunciados matemáticos relacionados estrechamente entre sí, para obtener una respuesta a una pregunta que se realiza desde “fuera” de las matemáticas es lo que se llama matemática aplicada. Y es en el mismo hecho de poder sacar las matemáticas de sí mismas donde estriba el misterio. 

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Matemáticas y mundo físico (II): la indispensabilidad de las matemáticas

Pocos discutirán que las matemáticas son necesarias para la ciencia y la ingeniería. Parece una afirmación evidentemente cierta decir que la expresión y manipulación de las teorías físicas sería poco menos que imposible sin muchos aspectos avanzados de muchas ramas de las matemáticas. Así como que la química y la biología necesitan de las matemáticas continuamente para expresar la forma en que se comportan y evolucionan en el tiempo los objetos de su estudio. Tampoco parece exagerado decir que es inimaginable cualquier obra ingenieril, desde el diseño de un micromotor a la construcción de un megapresa, sin exhaustivas simulaciones y cálculos matemáticos. En resumen, que decir que las matemáticas son indispensables para la ciencia parece una afirmación no sólo verdadera sino también una que debería suscitar bastante consenso. Pero no es tan sencillo.

En una anotación anterior argumentábamos que los objetos matemáticos no existen y la semana pasada, sin ir más lejos, veíamos como la soberbia cartesiana convertía el conocimiento científico en una consecuencia del conocimiento apriorístico matemático. Pues bien, afirmar que las matemáticas son indispensables para la ciencia es una forma de argumentar que los objetos matemáticos sí existen y que la “confirmación” de las matemáticas vine proporcionada por la ciencia. Este análisis tiene envergadura suficiente como para tener nombre propio, el argumento de indispensabilidad de Quine-Putnam (AIQP), y ser uno de los favoritos de los platonistas para justificar el realismo matemático.

No es necesario entrar en demasiadas profundidades para seguir las líneas maestras del AIQP: no deja de ser la aplicación del método hipotético-deductivo a la epistemología de las matemáticas.

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Matemáticas y mundo físico (I): la soberbia cartesiana

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Podría pensarse que la afirmación platónica de la existencia de un mundo de perfección en el que las ideas matemáticas existen realmente y su conocimiento a priori (véase Los objetos matemáticos no existen) ha sido, a la par que influyente históricamente, lo más audaz que se ha podido decir sobre la ontología y la epistemología de las matemáticas. Y sin embargo, Descartes, uno de los padres de la geometría algebraica a la vez que filósofo, le supera en ambos aspectos. Esta visión cartesiana, a través de Kant, aún es perceptible hoy día en muchas discusiones sobre el asunto. Vamos a verlo.

Como seguramente recordaremos Descartes era un racionalista, en unos siglos, XVII y XVIII, en que o eras racionalista o eras empiricista. Sin embargo, en lo que respecta a las matemáticas había bastante acuerdo entre ambos bandos respecto a su ontología. Curiosamente hoy día aún hay quien plantea este punto de vista de hace más de 300 años como el colmo de la modernidad, a saber, que los objetos matemáticos son nuestras ideas.

Por otra parte, respecto a la epistemología, racionalistas y empiricistas compartían, si no todos, sí algunos criterios. La diferencia fundamental estaba en suponer que la idea de, digamos, un triángulo, es preexistente (innata) para los racionalistas (cosa que comparten con Platón), mientras que los empiricistas habrían dicho que nuestra idea de tres, o de triángulo, debe su existencia a nuestras percepciones de grupos de tres elementos y de objetos triangulares. Una vez salvado el problema del origen, unos y otros vuelven a coincidir en que una vez provistos de las ideas relevantes a partir de ahí las matemáticas son independientes de cualquier experiencia posterior.

Pero, es precisamente en su relación con el mundo de la experiencia donde volvemos a encontrar discrepancias: los racionalistas como Descartes enfatizan la importancia de las matemáticas para nuestra comprensión del mundo, mientras que los empiricistas, los Locke, Berkeley o Hume, la minimizan.

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Los objetos matemáticos no existen

La idea de que existen realmente eso que llamamos “objetos matemáticos” puede trazarse hasta Platón. Su razonamiento puede resumirse más o menos en lo siguiente: los geómetras hablan de círculos “perfectos”, triángulos “perfectos” y demás cosas perfectas que no se encuentran en este mundo; por otra parte en la aritmética hablamos de números compuestos de unidades perfectamente iguales entre sí, aunque esas unidades tampoco se encuentren en este mundo; por lo tanto, concluye Platón, las matemáticas tratan de objetos matemáticos que no existen en este mundo, serían objetos puramente inteligibles que habitan “otro mundo”; además, como los objetos no son de este mundo, nuestro conocimiento de ellos debe ser independiente de nuestra experiencia o, lo que dicho técnicamente, constituye un conocimiento “a priori”.

Hoy día un porcentaje significativo de matemáticos trata a los objetos matemáticos platónicamente, bien porque hayan reflexionado sobre ello y hayan llegado a ese convencimiento (los menos) o bien de hecho. Se suele reconocer esta última actitud en que hablan de “descubrimientos”, como si los objetos matemáticos fuesen flores desconocidas en medio de una, hasta ese momento, impenetrable selva ecuatorial. Esta posición que, nos atrevemos a decir, es la que adquieren los matemáticos por defecto, es una forma de realismo: los objetos matemáticos son abstractos, eternos y no tienen relación causal con los objetos materiales. Démonos cuenta que desde un punto de vista lingüístico esto es equivalente a interpretar literalmente el lenguaje matemático (por ejemplo, existe un x y existe un y pertenecientes a tal conjunto tales que si y > x entonces se cumple que....). Siendo justo, no todo realismo matemático es platónico, pero la distinción es tan sutil que a los efectos de lo que sigue no merece la pena pararse en ello.

La cuestión es, si los objetos matemáticos no son de este mundo y, por tanto, no tienen relación causal con los materiales (humanos incluidos), ¿cómo podemos saber que nuestro conocimiento de esos objetos matemáticos es correcto? O, ya puestos, ¿cómo podemos llegar a conocerlos en primer lugar?

Algunos han respondido estas preguntas afirmando que existe una capacidad especial que usan los matemáticos, una intuición matemática, un algo que le da al matemático acceso directo al universo abstracto, eterno y acausal de las matemáticas. Según este punto de vista, la intuición matemática sería uno más de los sentidos que tenemos (que no son cinco, por cierto, son, al menos, nueve; pero este es otro tema). El propio Platón y Kurt Gödel desarrollaron epistemologías a partir de esta idea e indicios de la misma pueden verse en pensadores contemporáneos como Roger Penrose, por ejemplo.

Pero, claro, este planteamiento tiene un problema evidente si ponemos un límite naturalista a la epistemología o, dicho de otra manera, si pensamos que los humanos somos parte de un universo, y no como expresaba Spinoza “un imperio dentro de otro imperio”, todas las facultades humanas deben poder ser estudiadas por métodos científicos. Pero para poder estudiar esta intuición matemática necesitaríamos que el universo matemático tuviese una relación causal con ella; como no la tiene, no puede ser estudiada como parte del universo, digamos, natural y por tanto la posición platónica y la creencia en las revelaciones divinas tendrían el mismo fundamento, esto es, la voluntad del que cree: “creer es un acto del entendimiento que asiente a la verdad divina por imperio de la voluntad movida por Dios mediante la gracia” que decía Tomás de Aquino en la “Suma teológica”.  

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Salvando a Arquímedes

I

En el momento de la caída de Siracusa el general Marcus Claudius Marcellus fue muy consciente de que su victoria había requerido dos años de asedio gracias en buena medida a las máquinas de Arquímedes. Sin embargo, impresionado por la capacidad de aquel hombre, dio orden de que su vida fuese respetada, atribuyendo tanta gloria en la salvación de Arquímedes como en la derrota de Siracusa. 

Pero ocurrió que un soldado que irrumpió en su casa espada en alto en busca de botín lo encontró sentado en el suelo, dibujando diagramas, completamente absorto. El soldado le preguntó que quien era, pues tenía orden de identificar a Arquímedes y llevarlo ante Marcellus en caso de encontrarlo, pero Arquímedes en vez de dar su nombre respondió Μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε (no molestes a mis círculos) algo que al romano le sonó muy diferente al “arkímedes” que hubiera identificado al único siracusano con inmunidad. La espada cayó y Arquímedes rodó muerto.

• ¡Mi general!

De Pernety levantó la vista de la carta que estaba releyendo para encarar a su ayudante de campo.

• Sí, Balfour, ¿qué ocurre?
• Las baterías acaban de tomar posiciones, señor. Listos para abrir fuego a la orden.
• Bien, bien, Balfour, gracias. Por cierto, el teniente Servais habla alemán, ¿verdad?
• Sí, señor, es de Aix-la-Chapelle, creo.
• Haga que venga.

Es por ello mi general que me atrevo a pedirle este gran favor en nombre de la ciencia...

Desde que había alcanzado el generalato hacía unos meses Joseph Marie de Pernety había recibido algunas cartas pidiéndole favores, la mayoría recomendaciones de hijos y sobrinos que querían hacer carrera en el ejército. Pero aquella carta de la hija de Ambroise era extraordinaria. Y él había tomado la resolución de no ser un segundo Marcellus. Tomó una hoja de papel y comenzó a escribir.

• ¡Mi general! El teniente Servais.
• Descanse, Servais. Tengo una misión para usted. Escoja a dos hombres de su confianza. En cuanto abramos brecha en la ciudad quiero que vayan a la dirección que está en este papel y encuentren a ese hombre. Deben retenerlo en su casa y protegerlo bajo cualquier circunstancia, hasta que llegue yo. No obedecen a nadie más que a mi. Responden con sus vidas. ¿Está claro?
• ¡Sí, señor!
• Vaya pues. Lanzaremos el ataque inmediatamente, en cuanto amanezca. ¡Buena suerte!
• ¡Gracias, mi general!

El general y su ayudante observaron marcharse al joven teniente.

• Espero por su bien que no falle.
• Mi general, puedo preguntarle a quién ha de proteger.
• A Arquímedes, Balfour, a Arquímedes. Y vámonos, que esta ciudad no caerá sola.
  
  

II

• Así que usted es Arquímedes.
• Bitte?
• Servais, traduzca. Decía que usted es Arquímedes.
• Yo sólo soy un matemático, excelencia. Y eso es lo que tengo en común con Arquímedes. Pero no entiendo este trato especial...¿Acaso su excelencia me conoce?
• No antes de la carta de una amiga suya de París. Obviamente sé quien es Arquímedes, los artilleros de Metz estudiamos geometría, ¿sabe?
• ¿Amiga mía de París? Perdone, excelencia, pero no le entiendo. Yo no tengo amigas de París. Tengo varios corresponsales franceses por mi trabajo, eso sí, monsieur le Blanc, por ejemplo, o...
• ¿Cómo que no? Pues la hija de mi buen amigo Ambroise Germain, Sophie, le conoce bastante bien. En cualquier, caso, está usted a salvo y bajo la protección de la República Francesa. Servais y sus hombres se quedarán con usted hasta que se haya reestablecido el orden en la ciudad.
• Muchas gracias, excelencia, pero sigo sin comprender...

III

[...tres meses después...]

Mi querida señorita Germain:

Pero cómo describirle mi admiración y asombro al ver que mi estimado corresponsal monsieur le Blanc se metamorfosea en este personaje ilustre que me ofrece un ejemplo tan brillante que sería difícil de creer. La afinidad por las ciencias abstractas en general y, sobre todo, por los misterios de los números es demasiado rara: lo que no es sorprendente ya que los encantos de esta ciencia sublime sólo se revelan en toda su belleza a aquellos que tienen el valor de comprenderlos. Pero cuando una persona del sexo que, según nuestras costumbres y prejuicios, debe encontrar infinitamente más dificultades que los hombres para familiarizarse con estos espinosos estudios, y sin embargo tiene éxito al sortear los obstáculos y penetrar en las zonas más oscuras de ellos, entonces sin duda esa persona debe tener el valor más noble, el talento más extraordinario y un genio superior. Realmente nada podría probarme de forma tan meridiana y tan poco equívoca que los atractivos de esta ciencia que ha enriquecido mi vida con tantas alegrías no son quimeras, que la predilección con la que usted la ha honrado. Quedo suyo afectísimo, 

Carl Friedrich Gauss

Más información sobre Sophie Germain

Esta entrada es una participación de Experientia docet en la Edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas que alberga Eulerianos

El sueño de Srini

Comenzaron a caer gotas de sangre y él, en el duermevela, temblaba de excitación sabiendo lo que ello significaba. A su derecha veía a la diosa, esa imagen tan familiar, sonriendo. La presencia de su esposo, mitad humano, mitad león, se sentía en el ambiente pero no le podía ver. De repente, la neblina se disipó y vio a la diosa en un mercado. Se acercaba a un puesto y compraba alguna cosa que no podía distinguir, pero vio con extrema claridad que pagaba con dos monedas idénticas en su mano extendida.

Se encontraba confuso. Era la primera vez que algo así ocurría en sus visiones. Habitualmente la diosa simplemente desenrollaba pergaminos en los que estaban escritas las fórmulas. Pero, aquello...No tenía tiempo de pensar, la diosa le invitaba con un gesto a que se fijase en las monedas que ya estaban en manos de la tendera. Eran idénticas a primera vista pero, si uno se fijaba con atención, en el canto que él podía ver diáfanamente se leían dos nombres distintos: el suyo propio y el de Jacobi.

El tiempo pareció acelerarse. Las monedas tomaron rumbos distintos: una fue entregada a un cliente como cambio, la otra se usó para pagar a un campesino dos días después a treinta kilómetros de distancia. Pero él podía verlas en su viaje. Cambiaron de manos, tiendas y ciudades repetidas veces. Durante meses, que a él le parecían segundos, las monedas siguieron rumbos caóticos, sin aparentemente nada en común salvo el mismo caos. Pero era sólo apariencia: la moneda con su nombre estaba intentando seguir a la de Jacobi. Tras dos años las dos monedas terminaron en la misma ciudad, en la misma tienda, en la misma caja registradora, a cuatro centímetros la una de la otra, a la misma distancia a la que estaban en la mano de la diosa cuando las vio por primera vez.

Se despertó confuso y empapado en sudor. ¿Qué querría decirle la diosa?¿Cómo interpretar aquello? Alargó la mano, cogió su cuaderno y comenzó a escribir. Días después enviaba una carta a Hardy:

[…] I discovered very interesting functions recently which I call ``Mock" theta-functions. Unlike the ``False" ϑ-functions (studied partially by Prof. Rogers in his interesting paper) they enter into mathematics as beautifully as the ordinary theta functions. [...]

La carta describía varías funciones nuevas que se comportaban de una forma diferente a las funciones theta, lo que hoy llamamos formas modulares, y que, sin embargo las imitaban. Conjeturaba que estas formas modulares simuladas se correspondían con las formas modulares ordinarias que había descubierto Jacobi y que ambas terminaban dando resultados similares para la raíz de 1. La carta contenía 17 ejemplos de ellas. Sin demostración.

Pero en este cuaderno que estaba perdido, el cuaderno que él escribía mientras agonizaba, hay más ejemplos. Sin una sola derivación, ni explicación. En su forma terminada. Como si hubiesen venido de ninguna parte.

Ya sabes que Zwegers fue el que dio la interpretación de lo que él quería decir. Pero nadie entiende de dónde las sacó. Y entonces es cuando he encontrado esta nota en la cubierta del cuaderno, escrita con letra minúscula en su dialecto de Tamil Nadu, donde narra su sueño.

Y ahora ya sabes tanto como yo. ¿Qué hacemos? ¿Lo publicamos? La gente de la India ya reza a Namagiri para que ilumine a sus hijos en matemáticas. Pero, ¿cómo interpretar que los dioses dictaban las matemáticas a Ramanujan? 

Esta entrada es una participación de Experientia docet en la Edición 3,141592653 del Carnaval de Matemáticas que acoge el blog Que no te aburran las mates.

Para saber más:

Mock modular form

Ramanujan's last prophecy: quantum mudular forms

La evolución del simbolismo matemático.

Página del Liber abacci de Leonardo Pisano "Fibonacci"

Todos, en mayor o menor medida, estamos familiarizados con el simbolismo matemático. En un país mínimamente desarrollado es difícil encontrar a alguien que no sepa qué significan estos cinco símbolos en este orden: 2+1 = 3. De hecho, la presencia del simbolismo matemático es tan común, efectiva y eficiente que ni nos paramos a pensar que durante buena parte de la existencia de la humanidad no existió. Ni siquiera durante la mayor parte de la historia de la escritura. Y es que el simbolismo matemático es un invento progresivo, con avances y retrocesos, y que no toma carta de naturaleza plena hasta el siglo XVII. Europa será el crisol donde se obtenga.

El uso de símbolos para representar ideas matemáticas es lo que caracteriza a una rama de éstas que conocemos como álgebra. En una expresión algebraica como

x³-ax²+10x-1 = 5

podemos distinguir tres tipos de símbolos: por una parte los que representan cantidades conocidas (10, 1, 5) o dadas (a), por otra los que representan cantidades desconocidas o incógnitas (en este caso x) y, finalmente los que expresan operaciones o relaciones (³, ², +, -, =). En puridad, existe un cuarto simbolismo que es posicional, es decir, cómo cambia el significado de un símbolo por la posición con respecto a los demás, pero en lo que sigue no nos referiremos a él explícitamente y nos concentraremos en el origen de los otros tres tipos.

Muchas civilizaciones anteriores a la griega, particularmente la babilonia y la egipcia, tienen textos matemáticos. Suelen ser tablas contables, de control de producción agrícola o de medida de terrenos, aunque alguno hay de lo que parece entrenamiento en cálculo. Todos estos textos tienen en común que describen los problemas literariamente y que el sistema de numeración se basa en la repetición de símbolos. Estos textos emplean el mismo sistema de escritura durante, literalmente, miles de años sin cambios sustanciales. Ello nos hace ver que cumplían con las necesidades de escribas, almaceneros, agrimensores y cobradores de impuestos. O, visto de otra manera, no existía una necesidad de abstracción matemática que favoreciese la aparición de una forma más eficiente de representar las relaciones entre cantidades.

Hay que esperar a la era imperial romana para encontrar un avance realmente significativo, aunque sea de manos de un griego. Los griegos representaban las cantidades numéricas empleando letras, pero Diofanto, probablemente en el siglo III de la era común, da un paso más en el simbolismo en su Aritmética, la misma que Fermat estudiaba cuando se le ocurrió su famoso último teorema. Introduce abreviaturas para las expresiones más habituales así como una notación especial para la incógnita y las distintas potencias de la incógnita. El gran paso hacia la abstracción matemática de Diofanto fue crear una abreviatura para “igual a”, lo que constituye un paso fundamental desde un álgebra verbal, descriptiva, hacia un álgebra simbólica y abstracta.

A pesar de sus carencias (sólo existe una incógnita, no existe notación para un número general conocido, etc.) Diofanto consigue separarse de la geometría como único modo de expresar los conceptos y operaciones matemáticos.

Tras Diofanto se entra en los años oscuros donde prácticamente no existen avances. Habitualmente, los libros de historia, y algún conferenciante TED, citan los trabajos de los árabes como transmisores de la cultura grecolatina y, por tanto, de las matemáticas. Hay muchos que piensan en la labor realizada por los traductores en Castilla como fundamental. Y, efectivamente, esto es así, pero no para el avance del simbolismo algebraico, que retrocede a épocas anteriores a Diofanto, con un retorno a la literalidad y la geometría. En el 1800 a.e.c. los babilonios resolvían ecuaciones cuadráticas expresadas en forma de texto; tres mil años después, a comienzos del siglo XII e.c., Omar Jayam sigue haciéndolo igual.

La conexión con el conocimiento musulmán existe pero es diferente a la que habitualmente se cree. Fueron los intereses comerciales de Leonardo Pisano, más conocido como Fibonacci, y sus viajes por el Mediterráneo, particularmente a Egipto, donde habría entrado en contacto con las ideas matemáticas persas e hindúes además de las musulmanas, los que trajeron una revolución a Europa en forma de libro.

El Liber abacci (1202) de Fibonacci probablemente tenga uno de los comienzos más revolucionarios de la historia de la ciencia. Comienza tal que así:

“Hay nueve figuras de los indios: 9,8,7,6,5,4,3,2,1. Con estas nueve figuras, y con el signo 0 que en árabe se llama zephirum, se puede escribir cualquier número, como se demostrará.”

Los siguientes 7 capítulos del libro (de un total de 15) se dedican a explicar cómo usar y realizar operaciones con estos nuevos numerales.

Fibonacci aporta un avance fundamental, como vemos, que facilita la aritmética enormemente. Pero sigue habiendo limitaciones importantes. Fibonacci usa un sistema sexagesimal para expresar sus resultados. La fundamental, sin embargo, es que para incógnitas y operaciones Fibonacci también sigue a los musulmanes aunque traduciéndolos al latín italianizado. Así aparecen radix (raíz), res/causa/cosa (para la incógnita), census (propiedad, para el cuadrado), o cubus (cubo). Los problemas se siguen expresando literariamente.

Los desarrollos son muy lentos y, si bien los nuevos numerales indo-arábigos se popularizan rápidamente, hay que esperar hasta 1494, a la Summa de Luca Pacioli, para registrar un nuevo avance, que parece un retroceso. Pacioli vuelve a un sistema parecido al que Diofanto usó más de mil doscientos años antes, usando los numerales de Fibonacci y expresando la incógnita como co, su cuadrado como ce y el cubo como cu, simples abreviaturas de los nombres italianos.

Se producen algunos avances menores más, pero el sistema de Pacioli es tan eficaz para el uso habitual que será necesaria una crisis matemática para provocar el siguiente paso adelante en la notación simbólica. Y esa crisis será la resolución de la ecuación cúbica.

Diofanto y Cardano ya asumían la existencia “operativa” de los números negativos. Cardano atribuía la misma operatividad de facto a los complejos, pero para Rafael Bombelli que atacaba la resolución de ecuaciones cúbicas irreducibles y llegó a dar reglas de signos para la operación con números complejos, la notación disponible era una tortura. Bombelli se ve forzado a la introducción del corchete en su obra l'Algebra (1572):

Multiplichisi, R.c.[2 più di meno R.q.3] per R.c. [2 meno di meno R.q.3]

donde R.q. y R.c. son, respectivamente, la raíz cuadrada y la raíz cúbica.

El simbolismo moderno estaba a punto de surgir de pura necesidad. Los avances en trigonometría y sobre todo en álgebra requerían una forma más racional de expresar ideas matemáticas. Y este avance se dio en dos pasos gigantescos. Pero esos pasos se darían en Francia, que se convertiría en los siguientes siglos en el centro de las matemáticas.

El primero lo supuso la publicación de De artem analyticem isagoge en 1591 por parte de François Viète. En honor a la verdad, este libro fue un gran paso adelante y uno pequeño hacia atrás. Adelante porque en él se emplean de forma sistemática letras para representar números. Si bien esta idea se puede remontar a Diofanto, Viète va más allá y distingue rangos de letras y sus aplicaciones. Las cantidades podían ser de dos clases: “cosas buscadas” (quaesita) y “cosas conocidas” (data). Las incógnitas se escribían usando vocales mayúsculas A,E,I,O,U,Y y las constantes con consonantes también mayúsculas B,C,D,F,... Por ejemplo, en simbolismo de Viète la ecuación

bx²+dx = z

pasa a ser

B in A quadrum, plus D plano in A, aequari Z solido

Este ejemplo también ilustra el paso atrás que mencionábamos antes, que es un retorno a la geometría que se expresa a través de la “ley de homogeneidad”, según la que todos los términos de la ecuación deben tener las mismas dimensiones. Como bx² tiene tres dimensiones, dx también debe tenerlas (de ahí lo de D plano) al igual que z. Esto hace la notación tediosa y aparentemente poco operativa, si bien Viète manejaba polinomios de grado 45 con soltura.

Y entonces llegó La géométrie de René Descartes en 1637. Este libro es el primero que se lee como un texto moderno de matemáticas. Descartes toma todos los conocimientos existentes sobre simbolismo matemático, los simplifica, los racionaliza y los emplea en un libro que marca el comienzo de la geometría algebraica. Sólo dos cosas importantes están ausentes: el signo = para la igualdad y, paradójicamente, los ejes cartesianos, y es que Descartes no veía la necesidad de que los ejes estuviesen a 90 grados.

En La géométrie las letras minúsculas del comienzo del alfabeto representan datos conocidos, y las letras del final del alfabeto las incógnitas buscadas. La x se convirtió en la representación de la incógnita por antonomasia porque Descartes le dio libertad a su impresor de usar la letra del final del alfabeto que más le conviniera, eligiendo éste la x porque es la que menos uso tiene en francés.

A partir de este momento se produce una triple revolución en las matemáticas: la generalización de la impresión de libros, el uso de un simbolismo potentísimo y la posibilidad de reducir la geometría a álgebra supondrán un florecimiento tal, que en sólo cincuenta años después de La géométrie se publicaba, por ejemplo, los Principia mathematica de Newton.

La historia aquí presentada es muy esquemática y existen matizaciones y adiciones muy interesantes que se podrían hacer. Pero me temo que quedarán para otras entradas.

Esta entrada es una participación de Experientia docet en la Edición3'141592 de Carnaval de Matemáticas que acoge  ZTFNews.