martes, 15 de mayo de 2012

La estructura del azar y el i-Phone 5


Esta entrada tiene dos partes diferenciadas y autocontenidas; si te interesa el aspecto tecnológico exclusivamente puedes pasar a la segunda (Estructura a nanoescala de un vidrio metálico) sin necesidad de leer la primera, de contenido algo más matemático y especulativo.

Proyección ortográfica de un cubo de 5 dimensiones en 2 dimensiones sobrepuesto al patrón de difracción de un cuasicristal icosaédrico


Los servicios de inteligencia sabían muy bien en la época de la Segunda Guerra Mundial la importancia que la verdadera aleatoriedad tenía en los códigos que usaban sus espías para encriptar sus mensajes. Ya habían descubierto durante la Primera, de la forma más dolorosa, que una persona no puede escribir números realmente “al azar” y, por ello, en Bletchly Park, sede de los servicios de contraespionaje británicos, donde trabajó Alan Turing y se descifró el código de la máquina Enigma, había grupos de mujeres arrojando dados con los que construían cuadernos de un solo uso pseudoaleatorios para que los usasen los espías en el continente.

Construir secuencias aleatorias puede parecernos intuitivamente fácil, pero no lo es. No se trata de decir los números (letras o palabras son reducibles a números) que se nos ocurran y y ya está. Hemos de tener cuidado de que no dejemos, inconscientemente, una pauta: tendemos a usar determinadas palabras y estructuras gramaticales, por ejemplo. Pero, paradójicamente, intentar no dejar una pauta, ¡es una pauta! Estos es sólo la manifestación del hecho de que el azar, la pura aleatoriedad, contraintuitivamente, tiene estructura. Veamos un ejemplo.

Intenta escribir una secuencia de números naturales que tú creas que es aleatoria. Una vez que lo hayas hecho estudiala como si la hubiese escrito otra persona y busca pautas; las encontrarás rápidamente. Así, si nos limitamos a los números naturales entre 1 y 15 podríamos haber escrito:

1, 4, 6, 7, 10, 14

que parecen números al azar. Pero a estos números se le puede encontrar una pauta:

a, a+n13, b, a+n23, a+n33, 2(b+1) donde n = 1, 2, 3, ...

Dicho de otra manera, 1,4,7 y 10 forman una progresión aritmética en el que la diferencia entre un término y el siguiente es la misma (3). Sabiendo esto intentemos elegir los números de forma que no haya ningún tipo de pauta apreciable entre ellos:

1, 2, 4,

Con estos números ya no podemos elegir el 6 por que tendríamos 2, 4, 6, así que

1, 2, 4, 5,

y ahora no podemos elegir ni el 7 ni el 8...

Y esto es limitándonos a las progresiones aritméticas. Hemos podido ver que escribir una lista de números al azar no es trivial. De hecho el teorema de Szemerédi prueba que es imposible. Y rizando el rizo, ni siquiera usando números primos te libras del problema, como demuestra el teorema de Green-Tao.

Cuando consideramos los sólidos el concepto de aleatoriedad se asocia a los sólidos amorfos, a los llamados vidrios. En estos se dice que el empaquetamiento de los átomos, la secuencia en la que se colocan es aleatoria. Esto podríamos llegar a la conclusión de que no es cierto gracias a Szemerédi, aunque hay cuestiones puramente químicas que nos hacen intuir que esto no puede ser estrictamente así.

Por su estructura interna los sólidos podemos clasificarlos en cristalinos, cuasicristalinos y amorfos. Como las definiciones estándar de estas estructuras se pueden encontrar fácilmente en la red, nosotros vamos a ir un pasito más allá y hablaremos de hiperdimensiones y de los planteamientos sobre aperiodicidad de Harald Bohr para unificar matemáticamente la visión de las tres. Así, una estructura cristalina sería el corte de una función multidimensional periódica por un hiperplano racional, es decir, la estructura cristalina tridimensional es realmente el corte por un hiperplano según un plano de la celda hexadimensional. Análogamente, en un cuasicristal el corte de la función periódica es irracional (típicamente el número áureo), esto es, el hiperplano que corta no coincide ni puede hacerse coincidir con un plano de la celda hexadimensional.

Vemos que, desde este punto de vista, hemos agotado todas las posibilidades de corte de una celda hexadimensional con los cristales (números racionales) y los cuasicristales (irracionales). Por tanto, podemos conjeturar [lo que no he leído en ningun parte y es original de un servidor] que en un sólido amorfo, de existir hiperestructura, ésta tendrá una dimensionalidad superior a 6 pero finita. Y es finita por el teorema de Szemerédi y porque a corto rango existe orden en todos los sólidos.

Efectivamente, desde el punto de vista del orden tanto cristales como cuasicristales lo tienen a corto a medio y a largo. Es característico de los cuasicristales que existan simetrías icosaédricas, cosa que para los cristales no está permitida, y el orden a largo no es tan evidente. En los vidrios no existe orden a largo (en el sentido habitual del término, hay aleatoriedad), pero sí existe orden a corto porque químicamente los átomos sólo son estables o metaestables en determinados entornos. Se alcanzará un estado estable si la mezcla tiene tiempo y energía como para ordenarse suficientemente, si no, el estado será metaestable. La cuestión es ¿cómo es la transición del orden a corto al desorden a largo? ¿habrá fases cristalinas, cuasicristalinas? ¿Qué ocurre a medio rango?

Un indicio del aspecto que pueden tener las respuestas a estas cuestiones lo proporciona un grupo de investigadores encabezados por Jinwoo Hwang, de la Universidad de Wisconsin en Madison (EE.UU.), con los resultados que han publicado en Physical Review Letters sobre un vidrio metálico.

Estructura a nanoescala de un vidrio metálico.


Zonas de estructura cúbica (centro) e icosaédrica (bordes) en un vidrio metálico



Los vidrios metálicos (VM) tienen características técnicas muy interesantes: son metales, son fuertes, y resisten muy bien la corrosión y el desgaste. Pero pueden romperse de pronto. El conocimiento que se tiene de su estructura es muy limitado como para poder explicar estas características. El trabajo de Hwang et al., del que damos la referencia más abajo, sugiere que estos materiales contienen más orden de lo que sugiere su nombre.

Los especialistas en materiales sospechan que los VM tienen algún tipo de estructura semiordenada, aún cuando no sea un cristal perfecto. La teoría predominante, apoyada por modelos por ordenador, es que hay “agrupaciones” de átomos, entendiendo por agrupación un átomo central y sus vecinos inmediatos, que forman pentágonos distorsionados o, más bien, icosaedros, sus equivalentes tridimensionales. Estas geometrías tienen simetría traslacional quíntuple, por lo que estaríamos frente a estructuras tipo cuasicristal. Los materiales con esta estructura tienden a quebrarse bajo tensión, en vez de estirarse o doblarse, lo que coincide con los VM. Hay otra teoría que dice que hay varias agrupaciones que se organizan en disposiciones cristalinas de tamaños del orden de un nanometro, pero esto suscita más polémica.

Hwang et al. han añadido datos experimentales a un modelo por ordenador y el resultado es que la realidad sería más compleja que ninguna de estas hipótesis por separado.

El equipo de investigadores usó una técnica llamada microscopía electrónica de fluctuación (FEM, por sus siglas en inglés) para estudiar muestras de un VM de composición Zr50Cu45Al5. La FEM mide las variaciones en la difracción de los electrones conforme un flujo de éstos se mueve por la superficie de una muestra delgada. Una muestra perfectamente homogénea, ya sea cristalina o amorfa, no tendría variaciones significativas en su modelo de difracción. Pero si la muestra tiene algún tipo de variación en la escala de uno a unos pocos nanometros la difracción cambiará de forma significativa. La técnica, por tanto, es sensible a lo que se denomina rango medio, el rango donde la microscopía electrónica convencional o la difracción rayos X tiene dificultades.

Los datos de la FEM se introdujeron en una simulación por ordenador (Montecarlo híbrida inversa) con el resultado de que diferentes zonas de la muestra tenían diferentes simetrías. Unas eran icosaédricas y otras eran cúbicas. Las zonas cúbicas podían llegar a ser el 15% de la muestra. Como ésta se había enfriado muy rápidamente desde su estado fundido, la estructura alcanzada es muy probable que sea metaestable.

Efectivamente, cuando la muestra se calentaba durante una hora a la temperatura de la habitación, el porcentaje de zona cristalina caía drásticamente pasando a una estructura icosaédrica. Esta estructura sería más estable, por tanto.

Decimos más estable y no la más estable porque puede que el estado alcanzado sea el de energía más baja. Esto, unido a que el estudio se refiere a un VM muy concreto, implica que no se puede generalizar el resultado a otros tipos de VM con facilidad. Pero, como todos los VM se fabrican por enfriamiento muy rápido, sí nos da indicios de lo que puede llegar a ocurrir con su uso industrial.

El iPhone 5 y los vidrios metálicos

Una de las características de los vidrios es que no tienen una temperatura de fusión, es decir, una temperatura a la que pasan del estado sólido al líquido. Por el contrario la transición de sólido a líquido es continua: los vidrios pueden visualizarse como líquidos de viscosidad muy próxima a infinita que, conforme se calientan, van disminuyendo progresivamente, empezando a fluir cada vez más. Esto los asemeja a los plásticos, que se van “derritiendo” cuando los calentamos haciéndose cada vez más maleables.

A diferencia, por tanto, de las aleaciones metálicas habituales, los vidrios metálicos pueden moldearse como el plástico: los puedes aspirar, empujar, soplar o lo que se te ocurra para que adopten formas muy complicadas sin pérdida de material y sin mecanización.

Si esto sigue siendo cierto incluso a micro o nanoescala podrías fabricar haces de nanocables o microengranajes para micromotores. El problema surge con el comportamiento a medio rango, que viene condicionado por la más que posible existencia de estructuras cristalinas metaestables, en principio, no deseadas.

Si el rumor de que el próximo iPhone 5 usará intensivamente VM es cierto, Apple estaría poniendo un montón de fe en un material cuyas características los científicos sólo están empezando a comprender.

Esta entrada es una participación de Experientia docet en la XV Edición del Carnaval de Química que organiza El cuaderno de Calpurnia Tate.

Referencia:

Hwang, J., Melgarejo, Z., Kalay, Y., Kalay, I., Kramer, M., Stone, D., & Voyles, P. (2012). Nanoscale Structure and Structural Relaxation in Zr_{50}Cu_{45}Al_{5} Bulk Metallic Glass Physical Review Letters, 108 (19) DOI: 10.1103/PhysRevLett.108.195505

13 comentarios:

pc ofertas dijo...

Muy buen post, sinceramente hay cosas que el ser humano no puede hacer.

Jorge Martínez Carracedo dijo...

Dices que: "En estos se dice que el empaquetamiento de los átomos, la secuencia en la que se colocan es aleatoria. Esto podríamos llegar a la conclusión de que no es cierto gracias a Szemerédi..."

Y aquí me surge una pega, para afirmar ésto, necesitas tener en cuenta el siguiente hecho:

-No existe una relación de igualdad entre el cardinal de los números enteros y el de átomos en el cristal, puesto que el número de átomos (ya no en el cristal, sino en el universo) es finito. Así, no puedes aplicar el Teorema.

Por otro lado me surge una duda, en los parrafos escritos después de la anterior cita, haces una afirmación, dices:

"Vemos que, desde este punto de vista, hemos agotado todas las posibilidades de corte de una celda hexadimensional con los cristales (números racionales) y los cuasicristales (irracionales)."

Creo que ésta afirmación es algo exagerada. He de decir que no tengo ni idea de cristalografía, pero supongo que diferentes números racionales e irracionales en el corte darán un cristal diferente. Si esto es cierto, la cardinalidad de los reales impide que haya tantos cristales distintos como números reales. Ésto quiere decir, que no estamos ni cerca de agotar todas las opciones como dices posteriormente.

Enhorabuena por el blog. He de decir que no he comentado por putear ni boicotear tu entrada, que me parece realmente interesante y buena, sólo, porque no me quedaron algunas cosas claras.

Un saludo

César dijo...

Muchas gracias por los comentarios.

@ Jorge Martínez Carracedo

Tienes razón en todo, pero...

No nos hace falta la formulación fuerte del teorema de Szemerédi, porque si bien el cardinal del conjunto no es infinito, tampoco necesitamos ni cualquier longitud, solamente una que es mucho menor de la más larga teóricamente posible, ni tampoco necesitamos que cualquier espaciado sea posible, con unos cuantos nos sirve. Se deja la demostración como ejercicio (je,je; pista: mejor el enfoque Gowers).

Por otra parte, no todos los cortes están permitidos. En el caso de los racionales sólo los que corresponden a planos de la celda unidad. En el caso de los irracionales, la limitación viene dada por las propias geometrías de los átomos y su capacidad de ordenamiento a corto (esto también aplica a los cristales pero la restricción de plano es más fuerte).

Lo que quizá no he terminado de expresar con claridad es que el plano o es racional o es irracional, tenemos un cristal o un cuasicristal, no queda posibilidad para un sólido amorfo a partir de una 6-dimensionalidad de partida.

Muchas gracias de nuevo por el comentario.

Paco Balas dijo...

Muy interesante el artículo. La estructura de los cuasi cristales es de las cosas mas interesantes del mundo nano. Solo una cosa, me rechina lo de temperatura de la habitación, ¿No sería mejor temperatura ambiente?

Rafaesp dijo...

Hola, me gustaría que me indicaras un enlace o una forma de buscar la historia que comentas al principio de la segunda guerra mundial cuando descubrieron que las personas no pueden pensar números aleatorios.

Un saludo, gracias por la entrada.

César dijo...

@ Rafaesp

Lo puedes encontrar en varios libros sobre historia de la criptografía. Yo lo leí por primera vez en la edición inglesa de este libro

http://www.amazon.es/CRIPTONOMICON-OBRA-COMPLETA-PREMIO-LOCUS/dp/8496546543/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1337199082&sr=1-1

Aunque tiene formato de novela y se lee como tal (a pesar de aparecer ecuaciones y gráficos de vez en cuando), en realidad es una historia encubierta del criptoanálisis durante la SGM centrada en Bletchley Park y el desarrollo de los principios matemáticos e informáticos que llevaron a descifrar el código de la máquina Enigma .

Anónimo dijo...

Muy interesante el artículo, pero tus conclusiones generales sobre la aleatoriedad creo que se basan en un supuesto falso (o al menos no demostrado): que si un conjunto de números contiene progresiones aritméticas suficientemente largas, no es aleatorio.

No sé de dónde te sacas eso, ya uses para definir la aleatoriedad la teoría de la información algorítmica o cualquier otra cosa. ¿Me lo podrías aclarar?

Gracias y enhorabuena por el blog.

Anónimo dijo...

Hablando de cuidar la ortografía y la gramática: "encriptar" no existe en castellano (http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=encriptar). Es "cifrar". Un saludo.

César dijo...

@ Anónimo 1

Si un conjunto de números aleatorio contiene progresiones aritméticas de determinada longitud y espaciado tiene "estructura". De ahí el título de la entrada.

@ Anónimo 2

Una cosa es la ortografía, otra la gramática y otra los fedatarios públicos. La Academia y su diccionario son esto último y como tales actúan a posteriori.

La lengua es una cosa viva y en continuo cambio. La aparición de palabras nuevas con un uso definido es perfectamente correcto. El diccionario se actualiza en función de la consolidación de un uso: dentro de algún tiempo reconocerá "encriptar" igual que ha pasado a incorporar "murciégalo", "asín", "agora","almóndigas" o "cocreta". Si tú tuvieras que hablar sólo con las palabras del diccionario tendrías que usar bastantes más perífrasis de las que crees, por uebos [mirad el diccionario antes de decir que esta palabra tiene dos faltas de ortografía, anda. ;)].

Anónimo dijo...

Si un conjunto de números aleatorio contiene progresiones aritméticas de determinada longitud y espaciado tiene "estructura". De ahí el título de la entrada.

Que A contenga a B y B tenga estructura no significa que A tenga estructura.

Una serie infinita de lanzamientos aleatorios de una moneda contendrá una serie infinita de caras, pero eso no significa que la serie original no sea aleatoria.

Con respecto a la ortografía (aunque no soy el otro anónimo), por esa regla de tres, cualquier cosa que escribas es válida. Puedes escribir "dkjdlksjlsj" en vez de "cifrar" y justificar su uso en que la lengua está viva y los diccionarios sólo la recogen a posteriori.

Un saludo.

César dijo...

@ Anónimo 3

¿Donde digo yo que no lo sea? Lo que digo es que lo aleatorio tiene estructura.

Respecto al léxico, que no la ortografía, la clave está en "un uso definido". Yo puedo definir que "tryuire" signifique lo que sea, pero la incorporación al diccionario se produce cuando ese "uso definido" se generaliza. En el caso de "encriptar" su uso está generalizado en el sentido que lo uso yo. Fíjate que el "otro anónimo" rápidamente ¡ha encontrado un sinónimo!

Anónimo dijo...

César, enhorabuena por la entrada. Admiro a la gente que tiene tanta paciencia y educación con listillos puristas. Una cosa es escribir mal y otra ser un talibán de lo correcto. Estos conservadores frenan el progreso de la lengua y de la civilización ya que no permiten que nada progrese.
Me encanta la palabra encriptar, encriptación, criptografía. La lógica lleva a ponerla dentro del puzle. Señores caballeros puristas, podéis seguir jugando a balompié XD.

Anónimo dijo...

Talibán lo serás tú.

No es progreso de la lengua, sino desaparición de la lengua. Se sustituyen palabras propias de nuestro idioma por copias del inglés que no aportan nada y que sólo empobrecen el idioma, volviéndolo cada vez más un simple dialecto del inglés.