viernes, 25 de noviembre de 2011

La certeza de aparecer en un mapa.



Imagina que coges un mapa del mundo y lo despliegas sobre una mesa. Da igual donde esté la mesa, porque ya esté en Punta del Este, Maracaibo, Houston, Ushuaia, Múnich o Bormujos, en lo alto de un monte o en el fondo del mar, podemos afirmar que el lugar donde esté aparece en el mapa. Diciéndolo un poco más formalmente: siempre habrá un punto del mapa que corresponda exactamente con el lugar físico que representa. ¿Te parece obvio?¿Sí? Pues no lo es; al menos en matemáticas hay que demostrarlo. Esta idea tan aparentemente evidente implica conceptos mucho más complejos que son difíciles de demostrar matemáticamente. Y esto es lo que se acaba de conseguir de forma muy elegante. Pero vamos por partes.

Ese punto del mapa que corresponde a la localización donde está el mapa es lo que en matemáticas se llama un punto fijo. Dada una función, un punto fijo será aquel valor de la variable x para el que f(x)= x, es decir, la función toma el mismo valor que la variable. Lo que ha demostrado el equipo encabezado por Uri Bader, del Technion (Israel), es un teorema de la existencia de puntos fijos que la generaliza a todo tipo de mapas, ya sea un plano del metro de Medellín o los mapas de los espacios usados en física cuántica. Dado que el número de mapas posibles es infinito, la prueba tenía que hacer uso de toda el refinamiento de las matemáticas. El resultado aparece publicado en Inventiones mathematicae.

En 2008 apareció un artículo de 30 páginas, todas en jerga matemática, que casi llegaba a la prueba. Barry Edward Johnson, que fue el matemático que formuló el teorema en 1964 con Ringrose en un artículo titulado Derivations of operator algebras and discrete group algebras, trabajó en el “problema de la derivación” hasta su muerte en 2002 sin encontrar la prueba. La que ahora presentan Bader et al. apenas ocupa un par de páginas (el artículo completo con referencias tiene 6) y supone un cambio radical a la hora de afrontar el problema.

Cuando los matemáticos se han enfrentado al problema de la derivación una de las dificultades mayores para hallar una prueba ha sido la de encontrar todos los puntos fijos. Para visualizarlo mejor, imagina que tu objetivo es calcular el centro de gravedad de cualquier objeto, de manzanas a planetas, de sofás a moléculas, reales o imaginarios. La tarea se hace imposible y por eso esta vía se hacía impracticable. Lo que los investigadores han hecho es un tiro por elevación, en vez de disparar directamente al blanco, usar un mortero, primero subimos y después bajamos: probar el teorema primero para otros espacios paralelos (espacios de Banach L1 y sus análogos no conmutativos) y extaer la prueba del problema de la derivación como corolario. Un resultado contraintuitivo, pero tremendamente elegante que tendrá probablemente sus aplicaciones a largo plazo en física y econometría, donde los puntos fijos suelen aparecer.


Esta entrada es una participación de Experientia docet en la Edición 2.8 del Carnavalde matemáticas que alberga Cuanta Ciencia  

Referencia: 

Bader, U., Gelander, T., & Monod, N. (2011). A fixed point theorem for L 1 spaces Inventiones mathematicae DOI: 10.1007/s00222-011-0363-2

2 comentarios:

Tito Eliatron dijo...

Al principio, pensé que ibas a hablar de otra cosa... de la que tengo yo pensado hablar.

Muchas gracias por el regalo!!!!

Adama dijo...

Parece mentira que una cosa tan sencilla a simple vista sea tan complicado de demostrar sobre el papel. :)