lunes, 21 de noviembre de 2011

Nudos en el éter.



En el siglo XIX físicos y químicos no tenían muy claro qué podían ser los átomos y la imaginación se usaba para proveer teorías que justificasen los datos experimentales. La consecución de los espectros de los distintos elementos ponía de manifiesto que existía una relación entre la radiación, la luz, y los átomos. Como la luz se transmitía por el éter, ¿qué impedía considerar a los átomos de los distintos elementos como perturbaciones en la continuidad del éter? Ello justificaría de forma muy elegante esas líneas oscuras y brillantes que aparecían en los distintos espectros. Esta fue la idea que propuso en 1867 William Thomson, más conocido como Lord Kelvin: los átomos no eran otra cosa que nudos en el éter. La estabilidad topológica y la variedad de los nudos serían un reflejo de la estabilidad de la materia y la variedad de los elementos químicos. La teoría dio en llamarse teoría atómica de los vórtices y estuvo en vigor hasta casi el siglo XX.

Espectros del neón (Ne), mercurio (Hg) y sodio (Na)


Enlace de Hopf
La idea de que los átomos eran nudos de vórtices de éter se le ocurre a Thomson tras observar los experimentos que el físico-matemático Peter Tait estaba realizando con anillos de humo que, a su vez, se inspiraban en un artículo de Helmholtz sobre los anillos vorticiales en fluidos incompresibles. Thomson y Tait llegaron al convencimiento de que el estudio y la clasificación de todos los nudos posibles explicaría por qué los átomos absorbían y emitían luz en frecuencias determinadas. Thomson, por ejemplo, creía que el sodio podría ser un enlace de Hopf debido a las dos líneas características de su espectro. La teoría tenía el respaldo de personajes de peso, como James Clerk Maxwell, que afirmaba que la teoría satisfacía más condiciones que cualquiera de sus competidoras.

Así pues, Tait se embarcó en solitario en la aventura de realizar un estudio y tabulación completa de los nudos en un intento de comprender cuando dos nudos eran “diferentes”. Sólo al final recibió la ayuda de C.N. Litttle. La idea intuitiva de Tait sobre lo que es “igual” y “diferente” es todavía útil. Dos nudos son “isotópicos” (iguales) si uno puede ser manipulado de forma continua en 3 dimensiones, sin que existan autointersecciones, hasta que tenga el aspecto del otro.

Tabla (parcial) de nudos de Tait
En la ilustración podemos ver parte del trabajo de Tait: una enumeración de nudos y enlaces en términos del número de cruces en una proyección plana. Si la teoría de Kelvin hubiese sido una base correcta para la clasificación de los elementos químicos entonces las tablas de nudos de Tait habrían sido los cimientos de la tabla periódica. Pero la teoría de Kelvin demostró ser completamente errónea, y físicos y químicos perdieron el interés por el trabajo de Tait.

Una ley no escrita de la ciencia afirma que algunas veces los problemas más interesantes se encuentran en la papelera de otro investigador. Lo que los físicos abandonaron atrajo a los matemáticos, que se centraron en la pregunta que se hizo Tait: ¿cómo podemos dilucidar si dos nudos son isotópicamente iguales? La teoría atómica fallida dejaba para iniciar el trabajo las 163 proyecciones de nudos de Tait y una comprensión rudimentaria de la igualdad isotópica en términos de manipulaciones de las proyecciones. Desde el punto de vista matemático se había encontrado una mina de oro: desde entonces la teoría de nudos ha ido creciendo sin parar, e incluso a reentrado en la física teórica de la mano de la teoría de cuerdas.

Pero la teoría se está reinventando a sí misma continuamente. Sam Nelson, profesor del Claremont McKenna College (EE.UU.), publica un artículo en Notices of the American Mathematical Society en el que describe el nuevo enfoque en la teoría de nudos se ha ido imponiendo en los últimos años y los objetos parecidos a nudos que se han descubierto por el camino. Y ese enfoque parte de los diagramas que representan a los nudos más que de los nudos mismos.

E1D2E3D1E2D3
Desde el punto de vista matemático el cordón con el que se hace el nudo es un objeto idealizado de una dimensión, mientras que el nudo en sí es tridimensional. Los dibujos de los nudos, como los que hizo Tait, son proyecciones del nudo en el plano bidimensional. En estos dibujos se acostumbra a dibujar los cruces por encima o por debajo del cordón como líneas continuas o discontinuas, respectivamente (véase el diagrama). Si tres o más trozos del cordón están uno encima de otro en un punto concreto, lo que se hace es mover ligeramente los trozos sin cambiar el nudo de tal manera que cada punto del plano tiene encima como mucho dos trozos. Así, podemos decir que un diagrama plano de un nudo es la representación de un nudo, dibujada en el plano bidimensional, en la que cada punto del diagrama representa como mucho a dos puntos del nudo. Los diagramas planos de nudos son una herramienta habitual en matemáticas para representar y estudiar los nudos.

Pero, claro, manejar sólo diagramas no es posible, por lo que se han desarrollados distintos métodos para representar la información contenida en los diagramas de nudos. Un ejemplo es la notación de Gauss, que no es más que una secuencia de letras y números en la que a cada cruce en el nudo se le asigna un número y las letras E o D, dependiendo de si el cruce se hace por encima o por debajo. Así, en el nudo del diagrama vemos que si empezamos por 1 y seguimos hacia la derecha el cordón pasa por encima (E1), da la vuelta para pasar por debajo de 2 (D2), continúa para pasar por encima de 3 (E3), luego por debajo de 1 (D1), encima de 2 (E2) y debajo de 3 (D3); por tanto el código en notación de Gauss para ese nudo es E1D2E3D1E2D3.

A mediados de los años 90 del siglo XX los matemáticos descubrieron algo extraño. Existen códigos de Gauss para los que es imposible dibujar diagramas de nudos planos pero que, sin embargo, se comportan como nudos en ciertos casos. En concreto, esos códigos, que Nelson llama “códigos gaussianos no planos”, se comportan perfectamente en algunas fórmulas que se emplean para investigar las propiedades de los nudos.

Si un código gaussiano “plano” siempre describe un nudo en tres dimensiones, ¿qué describiría un código gaussiano no plano? Estaríamos hablando de sustancias etéreas de nuevo, nudos virtuales que tienen códigos gaussianos válidos pero que no corresponden a nudos en el espacio tridimensional. Estos nudos virtuales pueden investigarse aplicando técnicas de análisis combinatorio a los diagramas de nudos.

De la misma forma que, cuando los matemáticos se pararon a considerar la posibilidad de que -1 tuviese una raíz cuadrada, se descubrieron los números complejos (omnipresentes en física e ingeniería), que encierran como “caso particular” los números reales, ahora se ha descubierto que las ecuaciones que se usan para investigar los nudos tridimensionales dan lugar a todo un universo de “nudos generalizados” que tienen sus características particulares pero que incluyen a los nudos tridimensionales como caso particular.

¿Qué utilidad tendrá el descubrimiento más allá de las matemáticas? No lo sabemos. En los libros de matemáticas están ya las ecuaciones de la física del futuro. El problema de los físicos es averiguar cuáles son.

Esta entrada es una participación de Experientia docet en la Edición 2.8 del Carnaval de matemáticas que alberga Cuanta Ciencia

Referencia:

Nelson, Sam  "The Combinatorial Revolution in Knot Theory", Notices of the AMS December (2011) PDF