lunes, 20 de septiembre de 2010

Omega: la Respuesta con mayúsculas.


Hace algún tiempo un grupo de seres pandimensionales hiperinteligentes decidió encontrar la respuesta a la Gran Pregunta sobre la Vida, el Universo y Todo. Con este fin construyeron un ordenador increíblemente potente, Pensamiento Profundo. Tras varios millones de años de ejecución de un fabuloso programa se anunció la Respuesta. Y la Respuesta fue…

.000000100000010000100000100001110111001100100111100010010011100 . . .

No, no es 42. Eso es de una novela de Douglas Adams y esto es el mundo real. La Respuesta con mayúscula es, repitámosla,

.000000100000010000100000100001110111001100100111100010010011100 . . .

Este número se llama Omega y, si conocieses sus primeros miles de dígitos, conocerías más respuestas a preguntas matemáticas de las que puedan plantearse. Por si esto fuese poco, la mera existencia de Omega es una demostración de que la mayoría de las matemáticas no pueden crearse [“descubrirse” es un término platónico en este contexto, y en este blog odiamos cordialmente a Platón] aplicando solamente la lógica y el razonamiento. El hecho de que los matemáticos no tengan demasiada dificultad en crear nuevas matemáticas debe deberse a que los matemáticos usan algo de lo que los ordenadores no son capaces, llamémoslo “intuición”.

Omega, que fue definido por primera vez en los años 70 del pasado siglo por Gregory Chaitin, es un número binario infinitamente largo sin el menor rastro de pauta. Si definimos la complejidad de un número como la longitud del programa de ordenador más corto que lo puede generar en binario (concepto que forma parte de la Teoría de la Información Algorítmica –TIA-, creada por Chaitin y desarrollada independientemente por Andrei Kolmogorov), la ausencia absoluta de pauta implica que la secuencia infinita de ceros y unos de Omega necesita un programa de ordenador infinitamente largo para generarla. No hay atajos, ninguna forma de hacerlo más compacto. El non plus ultra en la irreductibilidad de la información.

Omega tiene una definición matemática simple y sin ambigüedades pero, por otra parte, su expresión numérica es algo que no puede ser conocido, de hecho, es algo que es el máximo de la no-conocibilidad. En general se suele pensar en pi, la razón entre la circunferencia y su diámetro, como en algo complejo. Así, sus dígitos (3,1415926…) son infinitos y no parece que se repitan. Y, sin embargo, resulta que pi puede ser generado por un programa de ordenador relativamente simple, por lo que para la TIA no es complejo en absoluto. Omega es infinitamente más complejo que pi.

Omega es como una serie infinita de tiradas de moneda, con las caras equivaliendo a “0” y las cruces a “1”. El resultado de cada tirada es independiente del resultado de la tirada anterior. La única forma de descubrir la secuencia de caras y cruces en una serie infinita de tiradas de moneda es tirar una moneda un infinito número de veces. No hay atajo.

Pero Omega es mucho, mucho más, que un simple número infinitamente aleatorio, infinitamente complejo e infinitamente incompresible (que no se puede comprimir). Omega también nos habla de los límites de los ordenadores, pero esa es otra historia.


[Esta entrada es la participación de Experientia docet en la VI Edición del Carnaval de Matemáticas que en esta ocasión alberga el Blog de Sangakoo.]

5 comentarios:

Toro Sentado dijo...

Me gustaría conocer la definición de omega.

Un saludo cordial de un platónico.

Adama dijo...

Seguro que Omega se puede definir a partir de 42 :)

He de admitir que en este post me he perdido mucho. Me uno a la petición de Toro Sentado.

Un saludo

Piedra Infernal dijo...

acabo de llegar a tu blog por causalidad(sic) y me ha parecido muy interesante el artículo, además en internet hay muy pocas refrencias a este numero (no he encontrado entrada en la wikipedia)...Felicidades por el blog

César dijo...

Primero, muchas gracias por los comentarios.

Segundo, vosotros lo habéis querido: Omega es la probabilidad de que un programa elegido al azar detenga correctamente una máquina de Turing. Por tanto, Omega está entre 0 y 1. Poniéndonos más matemáticos si cabe, Omega es el sumatorio, extendido a todos los programas que detienen una máquina de Turing, de 2 elevado al negativo de la longitud en bits de cada programa. Esta suma es infinita, pero converge hacia un número real entre 0 y 1.

Visto lo visto, prometo escribir algo más sobre Omega (y super-Omega, ya puestos) que sea más inteligible.

Un cordial saludo.

Adama dijo...

¡Gracias Cesar!

Ahora mucho mejor. :)

Tomamos nota de esos futuros posts. ;)