viernes, 24 de febrero de 2012

Se busca a Leibton




En La estructura algebraica del universo vimos cómo los avances matemáticos preceden en muchos casos a los descubrimientos de la física. Pero muchos casos no son todos. Ha habido momentos en la historia de la ciencia en los que la física se ha visto estancada por la inexistencia de una matemática que aglutinase, diese coherencia y despejase el camino a seguir. Eso fue lo que consiguieron Newton y Leibniz (tanto monta) con el cálculo. Hoy, la física se encuentra probablemente ante una situación similar. La diferencia con el siglo XVII es que al Leibton que encuentre la solución le espera una recompensa que va más allá de la gloria: un millón de dólares.

Uno de los mayores descubrimientos realizados en la primera mitad del siglo XX fue el comportamiento cuántico del universo. A distancias muy cortas, del orden de la molécula y menores, el comportamiento es muy diferente al del mundo clásico al que estamos acostumbrados.

Es muy común, al menos es nuestra experiencia, que se compartimentalice la teoría cuántica, que mentalmente la limitemos a lo muy pequeño como hemos hecho en el párrafo anterior. Sin embargo la teoría cuántica es fundamental, esto es, pertenece a los fundamentos, los cimientos, sobre los que se construye el universo. Esto quiere decir que gobierna no sólo lo más pequeño sino también lo “clásico”. Ello lleva implícito que tanto matemáticos como físicos hayan tenido y tengan que desarrollar métodos, no sólo para comprender los nuevos fenómenos cuánticos, sino también para reemplazar las teorías clásicas con sus análogas cuánticas.

Este proceso es a lo que se llama “cuantización”. Cuando tenemos un número finito de grados de libertad, como los que puede tener una colección finita de partículas, tenemos un mecanismo matemático muy bien desarrollado para manejar su cuantización que se llama mecánica cuántica, y eso a pesar de que el comportamiento cuántico sea muchas veces contraintuitivo.

Entonces, ¿cual es el problema? Cualquier sistema físico real tiene un número finito de partículas, ¿no? Sí, pero existen cosas que no son partículas, que no son discretas sino continuas, como los campos eléctrico y magnético, en los que el número de grados de libertad es, simple y llanamente, infinito. Esto lo han resuelto los físicos con las llamadas teorías cuánticas de campo; un avance que los matemáticos no terminan de comprender del todo.

Muchas teorías de campo se clasifican como teorías gauge. No nos interesa ahora tanto saber exactamente que es esto del gauge como entender que en estas teorías un conjunto concreto de simetrías, llamado el grupo gauge, actúa tanto sobre los campos como sobre las partículas.

Tenemos dos posibilidades entonces. La primera es que todas las simetrías conmuten; a estas teorías, para no perder las buenas costumbres matemáticas, las llamaremos teorías gauge abelianas. En este caso la cuantización se entiende razonablemente bien. Un ejemplo es la teoría del campo electromagnético, la electrodinámica cuántica, para el que la teoría funciona espectacularmente, haciendo predicciones de una gran precisión.

El primer ejemplo de teoría no abeliana que apareció históricamente fue la teoría de la interacción electrodébil, esto es, la teoría que explica las interacciones con la fuerza electrodébil, la unificación de dos de las cuatro fuerzas fundamentales del universo, el electromagnetismo y la fuerza nuclear débil. Esta teoría requiere de un mecanismo por el que las partículas predichas adquieran masa cuando las observamos. Aquí es donde entra en escena el bosón de Higgs, que parece que está a punto de confirmarse su existencia en el LHC del CERN con una masa en el entorno de los 125 GeV.

El mecanismo por el cual el bosón de Higgs aporta masa a las partículas es un mecanismo clásico que se transplanta a una teoría cuántica. Pero, ¿no estábamos cuantizando? Y ya tenemos un ejemplo estupendo de problema matemático no menor.

Para entender un poco mejor en qué consiste el problema retrocedamos hasta la distinción de teorías gauge en abelianas y no abelianas. Existe una teoría gauge no abeliana llamada Yang-Mills que se espera que describa los quarks y la fuerza nuclear fuerte, la que mantiene unidos los núcleos atómicos y en última instancia hace que el Sol produzca energía, que es la que permite la vida en la Tierra. Aquí vuelve a aparecer una contradicción entre lo cuántico y lo clásico.

La teoría clásica predice que las partículas no tendrán masa y que las fuerzas actúan a larga distancia. Se le pide a la teoría cuántica que reconcilie este “mundo clásico” con fuerzas que son de corto alcance y partículas que tienen masa. Los físicos esperan de ella además que posea varias propiedades matemáticas tales como la “diferencia de masa” (mass gap) y la “libertad asintótica”, lo que permitiría explicar la no existencia de partículas sin masa en los experimentos con interacciones fuertes.

Como estas propiedades no se ven en la teoría clásica y sólo surgen en la teoría cuántica, comprenderlas implica la necesidad de una aproximación matemática rigurosa a la teoría cuántica de Yang-Mills. No existen matemáticas para hacer esto ahora mismo, si bien admitiendo varias aproximaciones y simplificaciones puede entreverse que la teoría cuántica podría tener las propiedades deseadas.

Este problema es lo suficientemente trascendente como para que el Instituto Clay haya establecido una recompensa de un millón de dolares para el vaquero que meta las vacas en el corral, es decir, para el que establezca con rigurosidad matemática la existencia de un mass gap, la no existencia de partículas sin masa en la teoría de Yang-Mills. Ello, recordémoslo una vez más, implica abordar la teoría cuántica de campos en cuatro dimensiones para una teoría gauge no abeliana (se deja al lector como ejercicio).

Y habrá quien diga: “esto es cosa de físicos, ¿qué interés tiene esto para las matemáticas y los matemáticos?” En las últimas décadas los físicos han desarrollado métodos matemáticos para abordar la teoría cuántica de campo, en concreto las integrales de caminos, que son capaces de hacer predicciones precisas en geometría y topología, bien es cierto que con pocas dimensiones. Pero matemáticamente no sabemos qué es una integral de caminos excepto en casos muy sencillos.

Es como si estuviésemos en el siglo XVII, antes de Newton y Leibniz, usando truquitos y mnemotecnias para calcular áreas debajo de las curvas, velocidades y otras computaciones de interés físico. Análogamente hay cálculos en geometría y topología que pueden hacerse de forma no rigurosa usando métodos desarrollados por los físicos en la teoría cuántica de campos que dan las respuestas correctas. Esto sugiere que hay un conjunto de técnicas muy potentes esperando que un o una Leibton lo invente (¿o era descubra?).

Esta entrada es una participación de Experientia docet en la Edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas que alberga Scientia potentia est

5 comentarios:

Francis dijo...

Me ha gustado esta entrada, César, porque me ha hecho pensar. Eso está bien. Prometí escribir un artículo para la Gaceta de la RSME sobre este tema en julio de 2011 y todavía no he empezado... muchos líos.

El problema del salto de masa es un problema que molesta poco a los físicos, por no decir nada. Si los gluones tienen masa por la cuantización de la QCD los experimentos indican que es muy pequeña y que no influye donde la teoría perturbativa es aplicable a la QCD (escalas de energías de los GeV donde los mesones B dominan y los top se comportan como partículas libres), así que es como si no la tuvieran. Si los bosones W y Z tienen masa a alta energía, por encima de la energía (unos 246 GeV) a la que adquieren masa gracias al mecanismo de Higgs, tampoco importa pues dicha masa será incluso mucho más pequeña que la de los gluones (según las estimaciones actuales) y por tanto despreciable a todos los efectos a dichas escalas de energía.

¿Por qué no es importante el problema del salto de masa para los físicos? Quizás porque sus efectos no despreciables solo se den a la escala de Planck (o al menos por encima de la escala de unificación GUT). La mayoría de los físicos piensa que el gran grupo que unifique todas las simetrías será tal que conduzca a una gran masa para los bosones vectoriales de la teoría, las partículas como los gluones o los bosones W y Z en dicha teoría; una gran masa quiere decir una masa comparable a la masa de Planck. Quizás esto es lo que todo el mundo espera y por tanto el problema es poco relevante, incluso a escala cosmológica pues en dicho caso no hay manera de probar sus efectos mediante experimentos (ya lo habríamos observado pero no ha sido así).

Pero ahora que lo pienso con la cabeza un poco embotada por la gripe, quiero recalcar que un signo inesperado (en la función beta) fue lo que elevó la QCD a la teoría correcta de los quarks (el signo responsable de la libertad asintótica). Qué pasaría si el gran grupo de simetría GUT, por algún detalle matemático que no podemos ni imaginar ahora, fuera tal que no tuviera salto de masa, contradiciendo todo lo que la mayoría pensamos que es obvio (otro cambio de signo inesperado). En dicho caso las medidas cosmológicas podrían probar la realidad a la escala de Planck. Quien sabe, quizás la solución del problema matemático del salto de masa, de poco interés para los físicos, sea la clave para entender el universo y los primerísimos instantes de la gran explosión.

Estoy pensando en voz alta. No me hagáis caso. Ningún físico en su sano juicio apostaría por estas ideas. Pero los matemáticos tienen una ventaja... no tienen prejuicios físicos sobre la realidad.

Juan F. dijo...

Hola, soy jfghlynx, a.k.a., amarashiki, etc. Dices:

"Sí, pero existen cosas que no son partículas, que no son discretas sino continuas, como los campos eléctrico y magnético, en los que el número de grados de libertad es, simple y llanamente, infinito."

En primer lugar, cuando hablas en primer lugar de cuantización, el matiz es que hablas de la primera cuantización en la que las variables clásicas se convierten en operadores cuánticos, y los estados físicos están descritos por una base en cierto espacio vectorial finitodimensional, que es también un espacio de Hilbert. El problema de la cuantización de los sistemas contínuos surge del "matrimonio" complicado de la Relatividad Especial y la Mecánica Cuántica.
Así, uno se ve obligado a renegar del principio de conservación de número de partículas cuando a la hora de describir un operador cuántico para un sistema contínuo como el campo electromagnético (algo que aún a día de hoy es poco riguroso si nos olvidamos de la escuela de la Teoría Cuántica de Campos Constructivista). Al cuantizar el campo electromagnético, nos vemos obligados a introducir un espacio de "Fock" (algo que los matemáticos no se ponen de acuerdo en definir rigurosamente) y los operadores de creación y destrucción de partículas. Así, el campo electromagnético puede verse como un colectivo o gas de partículas, los fotones. En esta segunda cuantización ( se llama así, si habéis leido algo de Berezin) porque el sistema ya era en cierta forma cuántico al promocionar el campo a un operador, pero nos vemos forzados a introducir otros operadores, b y b+ ( el análogo fermiónico existe también con operadores f y f+) que son una suerte de una cuantificación del campo que habíamos promocionado a cuántico como operador.

Sobre tu siguiente comentario:

"El mecanismo por el cual el bosón de Higgs aporta masa a las partículas es un mecanismo clásico que se transplanta a una teoría cuántica. Pero, ¿no estábamos cuantizando? Y ya tenemos un ejemplo estupendo de problema matemático no menor. "

Bien, eso no es del todo preciso. El mecanismo de Higgs "ES" cuántico. Y lo es en una forma esencial, ya que es literalmente llevar el modelo BCS de superconductividad y el concepto de ruptura de simetría a la teoría. Involucra conocer el estado de vacío de la teoría...El potencial de Higgs es cuántico. Es cuántico porque los "cuantos" del campo auxiliar que uno introduce ( no sin problemas que no están resueltos debido a la energía del vacío de una partícula escalar) son los bosones de Higgs (una vez que la simetría se ha roto y el bosón de Higgs se lleva consigo los grados de libertad correspondientes a los bosones de Nambu-Goldstone). Decir que el mecanismo de Higgs es clásico es como decir que el comportamiento de los fotones en el efecto fotoeléctrico sigue las reglas de la física clásica ( es cierto en cuanto a la conservación de la energía pero es una simplificación excesiva de lo que pasa en la teoría cuántica del campo escalar, que nadie entiende todavía por cierto y ahí estás muy en lo cierto que los matemáticos dudan, sobre todo por esas distribuciones que se multiplican, los infinitos que se meten debajo de la almohada, etc.).

Juan F. dijo...

Más:
"La teoría clásica predice que las partículas no tendrán masa y que las fuerzas actúan a larga distancia. Se le pide a la teoría cuántica que reconcilie este “mundo clásico” con fuerzas que son de corto alcance y partículas que tienen masa. Los físicos esperan de ella además que posea varias propiedades matemáticas tales como la “diferencia de masa” (mass gap) y la “libertad asintótica”, lo que permitiría explicar la no existencia de partículas sin masa en los experimentos con interacciones fuertes."

La libertad asintótica es independiente de la existencia del mass-gap. Una teoría asintóticamente libre significa que su acoplo a alta energía se anula o se hace muy pequeño, algo que es vital para meter mano a la teoría de perturbaciones y demostrar la consistencia de la teoría cuántica. Como ejemplo, la teoría electrodébil NO es asintóticamente libre, por lo que a muy alta energía sabemos que será inconsistente. No ocurres así con QCD. En cambio, el mass-gap es algo mucho más aterrador que la libertadad asintótica. Demostrar el mass-gap de una teoría gauge no-abeliana significaría entender por qué una teoría gauge no abeliana como la teoría electrodébil o QCD presentan estados masivos. Es algo muy sutil. Sólo se está cerca de entender ese problema en QCD usando Lattice y teorías de la path integral, no sin complicaciones. Eso sí, bien vale un Nobel probar que QCD ó la teoría electrodébil deben tener estados masivos (no sólo el clay reward).

Comentas sabiamente el quid de la cuestión:

"Pero matemáticamente no sabemos qué es una integral de caminos excepto en casos muy sencillos. "

La path integral sólo se puede entender a día de hoy euclideizando la acción. Esencialmente, yendo de Minkovski al euclídeo y evitando las sutilezas que introducen los espacios curvos. La definición de la integral de caminos de Feynman no sabe hacerse en general, y es un objeto muy importante, pero algo que ni siquiera Feynman pudo imaginar que sería tan arrollador e imponente de forma matemática. La teoría de las "infinito-formas diferenciales" no es algo que pueda definirse trivialmente. ¿Puede hacerse acaso?Depende, como decía Feynman de tus prejuicios. Toma el principio holográfico en serio, y eso significa que una teoría cuántica de campos no tiene sentido para una teoría cuántica de la gravedad. Problema esencial y contradicción de nuevo.

Juan F. dijo...

Eso deja fuera la gravedad. Sin embargo hay un programa, ligado a Quantum Gravity, que toma ideas de todo lo anterior, Asymptotically Safe Gravity, y trata de probar que una teoría cuántica de la gravedad tiene lo que se llama un punto fijo en el running de G y la teoría cuántica de la gravedad ( por descubrir) se vuelve asintóticamente libre o segura como QCD. Es algo muy curioso que yo no entiendo del todo, pero muy profundo. En el siglo XIX se vieron relaciones entre electricidad y magnetismo, y nació el electromagnetismo. En el siglo XX, a finales, se vieron relaciones entre QCD/CFT y gravedad, naciendo la AdS/CFT duality (algo aún especulativo). Ha habido algún avance parcial, pero no se ha probado aún la naturaleza del punto fijo no trivial en la teoría cuántica de la Gravedad asintóticamente libre o segura.

El problema pues del mass-gap es importante porque precisamente dirá algo, por poco que sea, en la cuestión del origen de la masa, y su sentido matemático. Sea con la integral de caminos o sea con cualquier otra técnica como teorías en el retículo ( Lattice) influenciará también la cuestión de la gravedad, porque se acopla a cualquier cosa que tenga masa. Y porque, en cierta forma, la Relatividad General es una teoría gauge. No es una teoría gauge no abeliana usual, ya que su grupo gauge es el grupo de Difeomorfismos del espacio tiempo en el que la métrica y los campos viven. Por eso, como teoría clásica ya, ha habido mucho debate sobre en qué forma la gravedad es una teoría gauge (que lo es, pero no sobre un grupo de Lie como el resto de fuerzas). Por eso ha literalmente cientos de papers sobre teleparalelismo, teoría de Einstein Cartan, y otras generalizaciones exóticas de la Relatividad General, con o sin torsión, ... Entender que la teoría de la gravedad es una teoría efectiva es fácil desde el punto de vista de campos, pero ver qué la sustituye, cómo, cuándo y por qué y en qué forma a nivel cuántico, es el problema definitivo ( palabra de moda ) de un teórico. Sabemos que la gravedad no es una teoría usual, sabemos muchísimo sobre teoría de cuerdas, supergravedad y generalizaciones como teoría M que ni siquiera sabemos formular. Hay algo muy profundo que se nos escapa, y entender la generación de la masa en una teoría GAUGE, abeliana o no abeliana, de un grupo de Lie o de un grupo infinito es esencial para el problema de encontrar ese "grupo" o "ente" de simetría universal que contenga al SM y la RG como teorías efectivas a baja energía.

Finalmente, sobre las aplicaciones de estas cosas. Preguntado Faraday sobre sus dispositivos y experimentos, él dijo una vez a un político que eso era investigación, y que inmediatamente no servían para nada, pero sobre la electricidad sabiamente dijo a ese político que "un día cobraría impuestos por ello". Yo no puedo imaginar aún las consecuencias de entender la masa o la energía (equivalentes por relatividad especial) a un nivel superfundamental, pero entender cómo funciona la gravedad a nivel cuántico y su relación con las otras fuerzas puede originar en un futuro lejano aplicaciones como "la gravítica" de Asimov, o la electrogravitación ( suponiendo que tal conexión exista) permitiendo así generar gravedad artificial o vete a saber qué otras cosas. Si un habitante del siglo XIX o principios del XX nos viera ahora, se sorprendería de lo que se ha logrado entendiendo sólo parcialmente electromagnetismo ( ¿internet sería posible sin eso?) , o la energía nuclear ( energía que usamos todos los días tiene parte de origen nuclear, las resonancias magnéticas, radioterapia,...)...

Son estas cosas y estos problemas los que hacen la Física apasionante, como las Matemáticas.

Juan F. dijo...

PS: ¿Por qué hay algo en lugar de nada? Es otra forma de preguntar lo que hoy día se preguntan muchos acerca de la naturaleza del cuanto ( de luz, y del resto de campos). ¿Qué es un cuanto de luz?¿Qué es un cuanto de Higgs?¿Qué es un cuanto gravitacional?¿Qué es un cuanto gluónico? Tantos campos, tantos cuantos. Y eso sin siquiera introducir la materia, esos campos fermiónicos de espín 1/2 que son tan tan raros, que tienes que girarlos 720º en el espacio normal para que sean el mismo objeto. Para los SUSY believers, un gravitino es un campo spinorial vectorial que sastisface la ecuación de Rarita-Schwinger. ¿Sabéis que la ecuación de Rarita-Schwinger tiene soluciones cuyos frentes de onda se mueven más rápido que la luz? XD Hay soluciones de la ecuación de Rarita-Schwinger que son difíciles de entender. Entender si el concepto de campo cuántico y su interjuego con la noción de masa es una cuestión no trivial de importancia capital para la Física Teórica, para las aplicaciones habrá que esperar...