viernes, 27 de enero de 2012

La estructura algebraica del universo.



Para el profano toda la matemática es lo mismo y, sin embargo, no todas las matemáticas son creadas iguales. Existe una rama de ellas que es tremendamente abstracta, tanto que sólo los matemáticos especializados en ella le encuentran algún sentido: el álgebra abstracta. Paradójicamente el universo parece recogerse en ella.

El álgebra como abstracción comenzó su camino a finales del siglo XVIII y floreció en el XIX. Sin embargo, cada uno de sus pasos se encontró con la incomprensión de la mayoría de los matemáticos con mentalidades más clásicas (enfocadas a la geometría) o más modernas (fascinadas por el análisis y sus aplicaciones en física e ingeniería). Este fue el caso de Abel, Ruffini, Galois o Grassmann. El caso de este último es muy ilustrativo: hoy día cualquier estudiante universitario que haya tenido un curso de matemáticas ha estudiado a Grassmann sin saberlo, es lo que llamamos álgebra lineal. Grassmann en su día tuvo que abandonar las matemáticas por la incomprensión de un Cauchy, un Möbius o un Hamilton y dedicarse a su otra pasión, el sánscrito, lo que, esta vez sí, le granjeó un doctorado honorífico por la Universidad de Tubinga. Y es que esas abstracciones suyas de vectores y espacios vectoriales no tenían utilidad alguna, no digamos ya grupos, anillos o cuerpos.

En 1960 Eugene Wigner escribió un ensayo titulado “La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales” en el que se maravillaba de que estos productos de la pura abstracción humana, estos grupos y matrices, estos espacios y variedades, terminasen siendo imágenes de cosas reales o procesos reales en el mundo real. Y es que la revolución de la física de la primera mitad del siglo XX encontró apoyo en las ideas más abstractas del siglo XIX para la descripción tanto del universo a gran escala como del interior del átomo. De hecho, las física más especulativa del siglo XXI también se apoya en los aspectos más abstractos del álgebra del siglo XX. Veamos, a título de ilustración y sin ánimo de ser exhaustivos, algunos ejemplos.

Teoría especial de la relatividad (1905)

Las mediciones del espacio y el tiempo realizadas en un marco de referencia pueden ser “traducidas” a mediciones hechas en otro (que se mueve, por supuesto, a una velocidad constante con respecto al primero) mediante la transformación de Lorentz. Estas transformaciones pueden incluirse en un modelo como rotaciones de un sistema de coordenadas en un cierto espacio de cuatro dimensiones. En otras palabras, un grupo deLie (1870).

Teoría general de la relatividad (1916)

El espacioteimpo de cuatro dimensiones se curva (distorsiona) por la presencia de materia y energía. Para describir este fenómeno adecuadamente hemos de recurrir al cálculotensorial, iniciado por Hamilton (1846), desarrollado por Ricci-Curbastro (1890) basándose en Riemann y Grassmann, y popularizado por Levi-Civita (1900).

Mecánica cuántica matricial (1925)

Cuando el joven Werner Heisenberg estaba trabajando con las frecuencias de las radiaciones emitidas por un átomo que “salta” de un estado cuántico a otro, se encontró mirando varios cuadros de datos que tenían como característica que el número de la columna n-ava de la fila m-ava representaba la probabilidad de que un átomo “saltase” del estado m al estado n. La lógica de la situación le indicaba que tenía que multiplicar estos cuadros entre sí y sugirió la única técnica adecuada para hacerlo. Pero, cuando intentó llevar a cabo la multiplicación efectiva, se encontró con la sorpresa de que no era conmutativa. Multiplicar el cuadro A por el cuadro B no era lo mismo que multiplicar el cuadro B por el cuadro A. ¿Qué estaba pasando? Su suerte fue que investigaba en la Universidad de Gotinga y Emmy Noether y David Hilbert le explicaron muy amablemente la teoría de matrices que Cayley ya recogía en un libro de texto (1858), y las contribuciones posteriores de Hamilton, Frobenius y Cauchy, entre otros.

Hadrones y quarks (1964)

Para comienzo de los años 60 del siglo XX los físicos habían descubierto todo un mundo de partículas subatómicas llamadas hadrones. Murray Gell-Mann, a la sazón un joven investigador en el Instituto de Tecnología de California, se dio cuenta de que las propiedades de los hadrones, si bien no seguían un patrón lineal evidente, adquirían sentido como parte de un grupo de Lie, uno que aparece cuando estudiamos las rotaciones en un espacio bidimensional cuyas coordenadas sean números complejos. Trabajando con esta idea y los datos, Gell-Mann se dio cuenta de que su primera impresión era superficial. El grupo equivalente de 3 dimensiones complejas explicaba muchas más cosas pero requería de la existencia de partículas que aún no se habían observado. Gell-Mann se fió de su intuición, sus datos y las matemáticas y publicó lo que había encontrado. Las partículas que había predicho Gell-Mann dieron en llamarse quarks.

Teoría de cuerdas (1985)

Trabajando con algunas ideas de Riemann, Erich Kähler propuso en los años 30 del siglo XX una familia de variedades que tienen una propiedades generales muy interesantes. Cada superficie de Riemann, por ejemplo, es una variedad de Kähler. Entre 1954 y 1957 Eugenio Calabi identificó una subclase de variedades de Kähler y conjeturó que su curvatura debía tener un tipo de simplicidad muy interesante. Esta conjetura de Calabi fue demostrada por Shing-tung Yau en 1977.

En 1985 el grupo de investigación de Edward Witten se refirió a esta subclase de variedad como Calabi-Yau en un trabajo en el que identificaban su lisura (suavidad, ausencia de irregularidades), la simplicidad de su curvatura, como el trasfondo ideal en el que ubicar los movimientos de las cuerdas que, según la teoría, nuestros instrumentos interpretan como toda la variedad de partículas subatómicas y fuerzas, incluida la gravedad. El hecho de que la variedad de Calabi-Yau tenga 6 dimensiones parece muy raro, pero resulta que 3 de ellas están “plegadas” desde nuestra perspectiva macroscópica, de la misma forma que una maroma de barco manifiestamente tridimensional parece unidimensional a una distancia suficiente.

Una vez dije en una conferencia que la física del futuro, la descripción del universo que compartirán nuestros nietos, existe ya en la facultad de matemáticas. Eso sí, puede que la distribución no sea isótropa, y haya algo más concentración en los departamentos de álgebra.

Esta entrada es una participación de Experientia docet en la Edición 2.X del Carnaval deMatemáticas que organiza Resistencia Numantina.  

6 comentarios:

  1. César, como bien sabes comento poco en tu blog, así que te felicito por tus entradas, pero en este caso creo que son necesarios algunos comentarios.

    Es cierto que "cada superficie de Riemann, por ejemplo, es una variedad de Kähler," pero quizás hay que aclarar que esto es algo excepcional aplicable solo a las variedades de dimensión 2 (superficies). Las variedades de Kähler son variedades complejas y su dimensión real tiene que ser par. Hay variedades de Riemann que no son Kähler incluso si tienen dimensión par (aunque todas las Kähler son Riemann).

    "Calabi identificó una subclase de variedades de Kähler (con un) tipo de simplicidad muy interesante." Esto hay que aclararlo. Calabi estaba estudiando las soluciones de las ecuaciones de Einstein para el vacío. En 3+1 dimensiones, la solución es única (el espaciotiempo plano). Pero cuando el número de dimensiones n del espacio es par, Calabi observó que la versión compleja (con n/2 dimensiones), cuando la solución es una variedad de Kähler, podría tener más de una solución (además de la solución plana habría soluciones con curvatura no nula, como la que muestra la imagen que abre tu entrada). Yau demostró esta conjetura utilizando técnicas de ecuaciones en derivadas parciales (lo que en matemáticas se llama análisis geométrico) y obtuvo la medalla Fields por ello. Muy pronto se le llamó a estas soluciones variedades de Calabi-Yau. Quizás habría sido mejor llamarlas variedades de Calabi a secas, pero el resultado de Yau fue muy sorprendente para los expertos y Yau sabe "venderse" muy bien.

    Como puedes leer en mi artículo para el número 1 de la revista Amazings, como las supercuerdas viven en un espacio de 9+1 dimensiones pero observamos solo 3+1, Witten y sus colegas decidieron tratar las 6 dimensiones extra como una solución de las ecuaciones de Einstein para el espaciotiempo vacío (es decir, supusieron que las supercuerdas viven en el vacío); obviamente, propusieron que se trataba de una variedad de Calabi-Yau (compactificada, es decir, sus dimensiones extra son tan pequeñas que no las percibimos y pensamos que se comportan como un punto del espaciotiempo relativista ordinario).

    En aquel momento no se sabía cuántas CY había, pero Yau había conjeturado que había un número finito (lo que le venía muy bien a Witten y compañía por cuestiones de unicidad de la teoría de cuerdas). En la actualidad se conocen unas decenas de miles y se cree que no hay muchas más, pero sigue siendo una conjetura si el número es finito o infinito.

    Como bien dices en tu artículo, las supercuerdas antes de la segunda revolución (antes de 1994) se suponía que vivían en un espaciotiempo lo más "plano" posible, es decir, Minkowski plano en 3+1 y Calabi-Yau en las 6 dim. extras.

    En la actualidad se prefiere hablar en el contexto de la teoría M, donde el espaciotiempo tiene 11 dimensiones repartidas en 7 + 3+1, con lo que las 7 dimensiones no son una variedad de Calabi-Yau; aunque algunos autores asumen una partición 6+1, con una CY para las 6 y una compactificación trivial (una circunferencia) para la 1, la mayoría prefiere compactificaciones más exóticas, como las variedades G2 (con grupo de holonomía G2). Pero estas variedades están muy poco estudiadas y se conocen muy pocos ejemplos.

    Para acabar, no entiendo tu comentario "resulta que 3 de ellas están “plegadas” desde nuestra perspectiva macroscópica" relativo a variedades CY de 6 dimensiones. No sé bien a qué refieres. Las 3 dimensiones complejas de la CY están plegadas en pie de igualdad a como lo están sus 6 dimensiones reales.

    Corto el rollo, que esto me ha quedado muy largo.

    Saludos
    Francis

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  2. César, ¿has leído el libro "The Shape of Inner Space" de Yau. Es un libro de divulgación muy bueno (lo cito en mi artículo en Amazings) y está muy bien escrito (el coautor de Yau es Nadis un periodista divulgador que ha refinado el estilo). En este libro Yau cuenta en primera persona su historia, cómo descubrió las CY y para qué se usan en física. Si no lo has leído, lo disfrutarás sin lugar a dudas.

    Saludos, Francis

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  3. Anónimo8:12 p. m.

    Felicidades. Muy buena entrada. Lo suficientemente sencilla, para que los aficionados ( me cuento entre ellos) lo entendamos. Pero creo que muy completo. Un vistazo rápido a la evolución de las matemáticas y la física teórica del siglo XIX y XX. Y su estrecha relación. Gigantes sobre los que hoy nos sustentamos la humanidad. Genial. De nuevo felicidades.

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  4. Se suele afirmar que las dimensiones extra de la teoría de cuerdas corresponden a dimensiones "plegadas", ¿por qué no pueden corresponder a dimensiones que somos incapaces de ver y que permanecen todo el tiempo en un valor determinado? Por ejemplo, unos seres planos que vivieran en el plano que forma la superficie de una mesa serían incapaces de concebir la tercera dimensión, la que separa la superficie de la mesa del piso de la habitación donde está la mesa, pero esta dimensión podría dar ciertos valores a propiedades de su mundo, por ejemplo, el peso de los objetos dentro de "planilandia" quiza dependiera de la distancia que separa la superficie de la mesa del centro de la tierra. Despues de todo, nadie ha explicado porque una serie de constantes de nuestro universo adoptan un determinado valor, ¿por qué no puede depender este valor de la posición que adopte nuestro universo en una de las dimensiones escondidas, que no somos capaces de ver?

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  5. Si constantes como la masa del electrón, o su carga eléctrica, cambiasen con el tiempo podríamos decir que corresponden a una dimensión de nuestro universo, de esta manera, podríamos decir que este tiene 3 dimensiones espaciales, 1 temporal, 1 dimensión de la carga eléctrica, y 1 dimensión de la masa, pero como este cambio no se produce se nos hace difícil ver la masa o la carga eléctrica como dimensiones, pero pensemos por un momento que la dimensión que corresponde a la carga o a la masa, en el universo actual, corresponden a una dimensión, que, o bien, es estática, o bien se mueve según un movimiento uniforme, o bien se mueve según un movimiento uniformemente acelerado. En tal caso podríamos asignar una dimensión a cada una de las propiedades de la materia, o de la energía, y estas dimensiones no estarían necesariamente plegadas.

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  6. Quizá, si imaginamos la masa como una dimensión imaginaria, al calcular la dimensiones del espacio-tiempo en presencia de una masa, deberíamos sumar el cuadrado de la dimensión de la masa a las demás dimensiones, con lo cual la dimensión temporal se vería incrementada, mientras que las dimensiones espaciales se harían más cortas, y esto, precisamente, va en la misma linea de la teoría de la relatividad general.

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